Cómo resolvemos acertijos

Uno de mis “amigos” de Facebook publicó el otro día un acertijo, advirtiendo presuntuosamente que sólo era apto para personas con alto cociente intelectual. Teniendo en cuenta que la mayoría de quienes le comentaron daban la respuesta correcta, o todos eran muy inteligentes o –mucho más probablemente– el problemilla no era difícil. Supongo que bastantes de quienes lo resolvieron se decantarían por la primera opción: siempre es gratificante creerse uno inteligente aunque, claro, muchas veces es nuestra propia limitación la que nos impide ver que no lo somos tanto. Transcribo el acertijo para que cada uno de mis inteligentes lectores se dé el gusto de resolverlo, aunque lo que realmente quiero es apuntar mi somera reflexión sobre el proceso “intelectual” mediante el cual encontramos la solución.

Al echar el primer vistazo al problema leemos de forma casi automática una serie de sumas de dos cifras cuyos resultados, al otro lado de la igualdad, son erróneos. Digo leer porque interpretamos unos signos de acuerdo a unas reglas aprendidas desde niños: sabemos que los símbolos arábigos expresan cantidades en el sistema decimal, sabemos que “+” es el signo de una operación aritmética llamada suma y que “=” expresa la identidad entre las dos expresiones a cada lado. Pero, con las reglas de lectura que nos han enseñado esas identidades son falsas. Después de los cuatro enunciados se añade un quinto en el que en el otro lado de la igualdad, en vez de estar el resultado, aparece el símbolo que interpretamos como pregunta. La deducción es inmediata: si las cuatro primeras “sumas” tienen esos resultados, ¿cuál es el que corresponde a 9+7?

Esta primera conclusión, sin embargo, no es obvia sino que nos viene inducida por la suposición de que los signos que vemos son números y operaciones aritméticas. Nos es evidente que hay alguna “trampa”, que los signos tienen significados distintos de los que hemos estudiado, pero asumimos sin pararnos a cuestionarlo que tienen significados y, además, que tales significados nuevos pertenecen al mismo ámbito semántico que los viejos; es decir, que los números siguen siendo números y que los operadores aritméticos siguen siendo operadores aritméticos. Sin embargo, si no nos dejáramos llevar por ese supuesto, podríamos pensar que se trata de una serie de cinco elementos, cada uno de ellos formado por cinco signos en fila, como los ejercicios de algunos tests en que aparecen sucesiones de triángulos, cuadrados, círculos u otros símbolos al objeto de deducir cuál es el que sigue cuando la serie se interrumpe. Pero que el problema vaya por ahí ni nos lo planteamos debido –como ya he apuntado– a la prevalencia en nuestros cerebros de unas reglas de lectura aprendidas desde niños, pero también puede obedecer a que la “serialidad” de las filas entre sí no salta a la vista. Por ejemplo, si el problema hubiera sido el que adjunto a este párrafo (que obedece a la misma lógica que el original) es bastante probable que, dada la evidente serialidad de los sucesivos sumandos, nos planteáramos que la interrogación debe ser sustituida por un número que complete la serie 6-15-28-45, que ya no es tan obvia. Pero incluso en este caso, buscamos la solución asumiendo que los símbolos son números, lo que muestra lo difícil que nos resulta –salvo que nos detengamos a reflexionar sobre ello– deshacernos de los significados que ya tenemos tan incrustados en la memoria. [Aprovecho para decir que la solución a este segundo problema descubriendo el número que completa la serie es la misma que si se averigua la regla subyacente, lo cual ha de ser así, como se convencerá cualquiera a poco que piense sobre ello].

Pero, como ya dije, no se nos ocurre que el problemilla del primer párrafo es una serie, sino que pensamos que, simplemente, se trata de un cambio en los significados de los símbolos. También casi instantáneamente nuestro cerebro explora esa hipótesis distinguiendo de un lado los símbolos arábigos y de otro los de los operadores aritméticos. Este proceso lo hacemos separadamente; es decir, de un lado tanteamos si los símbolos arábigos pueden corresponder a cantidades distintas de las que expresan con su significado habitual, para lo cual asumimos que los operadores mantienen su significado conocido. La primera hipótesis que cualquiera haría –supongo– es que cada signo corresponde a un número de un dígito, pero nada más ver la segunda igualdad hemos de descartarla porque dos cantidades menores de 10 no pueden sumar 66. Entonces, antes de abandonar la suposición de que lo que han cambiado son los significados de las cifras arábigas, quizá nos digamos que los escritos en el problema pueden expresar cantidades mayores de diez, pero no tardamos ni un instante en darnos cuenta de que con tan pocas ecuaciones faltan datos para descubrir los valores de las cifras aportadas, con el agravante de que el 9 de la última igualdad nunca podría averiguarse al no aparecer en las anteriores.

Lo normal, creo yo, sería que llegados a este punto nos planteemos que el cambio de significado esté en los operadores y no en las cifras arábigas, las cuales tendrían los valores de siempre. Naturalmente, todo esto lo hace el cerebro a velocidad de vértigo, mucho más rápido de lo que se tarda en leer estas líneas. Imagino que lo único que ocurre es que la memoria aporta, para su verificación en el caso concreto, recuerdos de problemas análogos resueltos en el pasado, por lo que continuar tanteando una hipótesis o pasar a otra dependerá sobre todo de las experiencias acumuladas del sujeto. Por ejemplo, antes de descartar significados alternativos de las cifras, tanteé casi sin darme cuenta si podrían estar en una base de numeración distinta de diez (enseguida se comprueba que no) o si la cifra debía sustituirse por el número de letras (así, 2+3 se cambiaría en 3+4), pero obviamente tampoco. En fin, lo que trato de resaltar es que el proceso mental dista mucho de la construcción formal de un razonamiento, que ha de ser mucho más lenta, exhaustiva y sistemática (no se descartaría esta hipótesis hasta agotar sus posibilidades). El cerebro prefiere atajar, en cálculos probabilísticos intuitivos sobre qué camino le compensa más seguir. Sólo cuando se agotan las hipótesis más intuitivas, las que la memoria te ofrece casi de entrada, estamos dispuestos a plantearnos métodos más rigurosos de análisis.

Vuelvo a mi reconstrucción a posteriori de lo que hizo mi cerebro. Como dije, me planteé que el operador "+" no equivalía a la suma, pero sí a alguna regla que aplicada a los dos números daba un tercero. No se me ocurre, así a bote pronto, explicar un método ordenado mediante el cual descubrir la nueva regla, si es que la hipótesis sobre la existencia de ésta es la que resuelve el problema. Simplemente, vi enseguida que los resultados de esas pseudosumas eran múltiplos de las sumas. Naturalmente el “verlo” depende sobre todo del trato acumulado con los números que tenga cada uno. Supongo que a alguien refractario a éstos no le será tan inmediato darse cuenta de que 96 es múltiplo de 12, por ejemplo; incluso puede que le cueste algo más porque tampoco identifica a primera vista –sin pensar– que 8+4 es lo mismo que 12. De nuevo pues, el proceso de pensamiento que ponemos en marcha ante un acertijo está totalmente condicionado por nuestro aprendizaje previo, por las formas concretas en que hayamos entrenado nuestras neuronas. En fin, que uno lo “ve” y, a partir de ahí, es casi forzado que veas que el factor por el que se multiplica la suma para obtener el resultado es justamente el primer sumando. Es decir, la operación aritmética que se expresa tramposamente mediante el símbolo de la suma se escribe convencionalmente (a+b)·a. Y ya está resuelto el acertijo.

Naturalmente, la dificultad de un acertijo de este tipo radica en lo compleja que sea la operación que sustituye a la suma. Por ejemplo, si el problemilla fuera el que acompaña a este párrafo (con los mismos “sumandos” del segundo que adjunté más arriba), probablemente no pensaríamos que se ha modificado el operador, ya que a primera vista –salvo que uno sea matemático– es difícil de intuir de cuál se trata. Así que lo normal sería que tendiéramos a buscar el número que completa la serie 2-4,5-10,67-26,04 y me temo que acabaríamos rindiéndonos. Aclaro para los curiosos que en este ejemplo inventado la operación aRb =  a^b/b! Demasiado complicada para que nuestro cerebro sea capaz de encontrar con los recursos que espontáneamente se activan ante estos acertijos ninguna pista que conduzca a la regla lógica. Pero es que, ya puestos, el problemilla podría involucrar modificaciones tanto en el operador como en el valor de los símbolos arábigos, aumentando geométricamente su dificultad. No hace falta añadir más escollos porque ya parecería que nos metemos en el terreno de la criptografía. Como en esa disciplina (crucial en nuestra era internáutica), el proceso mental característico de estos juegos ya no sirve y habría que moverse en el aburrido campo de la combinatoria exhaustiva, sólo accesible mediante el uso del ordenador (la “fuerza bruta”, como le dicen). O sea, que la validez de un acertijo está limitada a que su solución pueda encontrarse mediante el ejercicio mental casi espontáneo. Tanto que analizarlo y describirlo –lo que he intentado en este post– resulta mucho más largo que lo que se tarda en resolver el problema.

 
All that love and maths can do - The Durruti Column (Circuses and Bread, 1986)