jueves, 29 de enero de 2009

Las tres puertas

En 21 (Blackjack) una película irrelevante que vi el fin de semana pasado, un profesor de matemáticas del MIT (Kevin Spacey) plantea en su clase lo que llama el problema del presentador de concursos. En un concurso de televisión se le ofrece al concursante elegir entre tres puertas distintas; tras una hay un coche nuevo, tras las otras dos, cabras. El concursante elige una de esas tres y enseguida el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada una, abre una puerta distinta de la elegida, tras la cual hay una cabra. Entonces el presentador le da la opción al concursante de cambiar de puerta. La pregunta es: ¿cuál es la decisión más inteligente, mantener la elección original o cambiar a la otra puerta?

En la peli, el alumno a quien se le plantea el problema, un geniecillo matemático, responde sin dudar que cambiaría de puerta. ¿Por qué? Le pregunta Kevin Spacey, ¿no piensas que el presentador está usando la psicología inversa para engañarte? En realidad no me importaría, contesta el chaval, porque mi respuesta está basada en las matemáticas, en el cambio de variable. Pero si sólo te ha hecho una simple pregunta, le dice el profesor fingiéndose extrañado. Es que eso lo cambia todo, responde el alumno; y se explica: cuando dijo por primera vez que eligiera una puerta, tenía 1/3 de posibilidades de acertar, pero cuando se ha abierto una de las puertas y puedo volver a elegir paso a tener 2/3 de probabilidades de elegir correctamente si elijo cambiar. Ante esta explicación, el profesor exclama entusiasmado: ¡exacto!

Pero yo no me quedé convencido con la explicación del estudiante geniecillo. Claro que cuando eligió la primera vez tenía 1/3 de probabilidad de éxito; pero, ¿por qué en el segundo momento tenía 2/3 si cambiaba de puerta? El coche estaba detrás de alguna de las dos que seguían cerradas, luego había de tener un 50% de probabilidad de acertar si cambiaba y otro 50% si mantenía su elección inicial. Este razonamiento, unido a la natural desconfianza del concursante (el presentador quiere engañarme, etc), debe ser el común en este tipo de situaciones y por eso, como dice Kevin Spacey, la mayoría prefiere no cambiar. No lo entendía, pero no dudaba de que sería cierto lo que decían en la película: los guionistas de Hollywood no cometen desatinos de ese cariz. Así que me quedé con la mosca, dándole vueltas al asunto. Me encantan este tipo de problemillas.

Esta semana he tenido (cómo no) mogollón de trabajo y no he dispuesto de un rato para pensar sobre lo que se me antojaba una paradoja. Pero el cerebro debe contar con compartimentos aparte que funcionan por su cuenta, especialmente durante el sueño. Porque esta mañana me he levantado con la intuición de haberlo resuelto, de que sabía la solución, pero sin ser capaz de expresarla. Hace un ratito, aprovechando que he rematado la tercera entrega del trabajo, me he sentado con una hoja en blanco y un lápiz para, mientras garabateaba, tratar de contarme coherentemente por qué la elección correcta es cambiar de puerta. Y al final, creo que me lo he explicado de modo que me he convencido. Ahí va:

Supongamos que escogí al principio la puerta tras la cual estaba el coche. Si cambio de puerta, pierdo; si me mantengo, gano. ¿Cuál es la probabilidad de que pierda cambiando de puerta? Pues la misma de escoger la puerta buena en el primer intento: 1/3. Ahora supongamos que escogí una puerta mala. Una vez que el presentador abre una puerta también mala, es obvio que el coche está en la que queda. Así que, si cambio de puerta, gano; si me mantengo, pierdo. ¿Cuál es la probabilidad de que gane cambiando de puerta? Pues la misma de elegir la puerta mala en el primer intento: 2/3.

Bonito, ¿no? Me he quedado con un gustirrinín interior de lo más agradable. Por supuesto, utilidad práctica no le veo mucha (no tengo previsto presentarme a ningún concurso tipo Un, Dos, Tres), pero ... ¿qué más da?


PS: Después de escribir el texto anterior, buscando en Internet imágenes para ilustrar el post, he descubierto que entre 1963 y 1976 existió un concurso en la televisión estadounidense llamado Let's Make a Deal (Hagamos un Trato) en el que, efectivamente, se ofrecía al concursante elegir entre tres puertas y, hecha la elección y abierta una de las rechazadas, se le dejaba cambiar la decisión inicial. Resulta que el problemilla que plantea Kevin Spacey en la película es sobradamente conocido y se llama Paradoja de Monty Hall, que es el nombre del presentador del concurso original. La solución es la que yo he contado, tal como la explican (en inglés) en el video que pongo al final del post. Por último, para quien tenga interés en experimentar las probabilidades en vivo, puede simular el concurso original en esta web; comprobará que si siempre opta por la estrategia de cambiar de puerta, después de un número suficientemente grande de pruebas, habrá ganado el coche en el 67% de las ocasiones.


CATEGORÍA: Todavía no la he decidido

35 comentarios:

  1. Pues sí, lo lógico sería cambiarse de puerta, pero el gustazo de desafiar a las matemáticas por una corazonada es difícil de resistir.

    Un beso.

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  2. Jopé, Miroslav, eres ecléctico, multifuncional, inteligente y sensato.
    Una mezcla irresistible.
    Un abrazo

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  3. Exacto, así funciona la teoría de probabilidades.

    Sólo tengo una cosa más que añadir. Por lo que sea, el cerebro humano no está muy programado para trabajar con probabilidades, aunque debería ser así por simple evolución (elegir entre huir o enfrentar a un predador, etc.), sin embargo, los universos probabilísticos son algo incognoscibles intuitivamente; es por eso que la física cuántica despierta tanta incomodidad a pesar de ser empíricamente "cierta"

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  4. Hay una serie que se llama "Números" donde dos hermanos trabajan para el fbi. Uno de ellos es matemático y ayuda a resolver los casos basándose en las matemáticas, los números; en uno de los episodios recuerdo que se planteó este problema.

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  5. Confieso que no logro encontrarle el fallo a tu razonamiento. Pero tampoco logro encontrárselo a este mío, que me lleva a la conclusión contraria:

    Aunque el concursante no lo sepa, el presentador siempre va a abrir una de las puertas malas. Ello forma parte del programa y también de los datos del problema matemático tal y como lo enfrentamos nosotros. La elección inicial del concursante entre tres puertas, y la apertura posterior de una puerta mala por el presentador, son, por tanto, mera mise en scène, atrezzo para confundir. Aunque el concursante aún no lo sepa, ya en ese momento tiene la mitad de probabilidades de acertar, y no un tercio, porque una de las puertas –y no una cualquiera al azar, sino necesariamente una de las malas: lo cual equivale matemáticamente a decir que solo la otra es significativa para la elección- está sólo como figurante y no va a intervenir en el momento en que haya una elección real. Por lo que lo cierto es que su decisión de cambiar o no la elección inicial se reduce siempre, en realidad, a una opción entre dos puertas, una con premio y otra sin él, (y esto es así independientemente de cuál fuera la que eligió primero). Con una probabilidad para cada una, evidentemente, del 50%. 1/2 de probabilidad de acertar si decide cambiar su elección inicial, 1/2 de acertar si decide no hacerlo.

    Y por más vueltas que le doy, no consigo verlo de otra manera, aunque tu brillante explicación, bastante mejor que la del estudiante (que, entre nosotros, no hay por dónde cogerla) me ha hecho dudar por un momento. Seguiré dándole vueltas, porque alguno de los dos razonamientos, el tuyo o el mío, tiene que contener un error, aunque de momento no se lo vea.

    En cuanto al simulador, ¿debo entender que lo has probado al menos cien veces, con un número de aciertos significativamente superior a cincuenta? No sé cuántas pruebas necesitaría yo para convencerme de que no tengo razón.

    (Lansky quizás recuerde que sobre esta misma cuestión mantuvimos ya un largo debate en el antiguo blog de Juan Malherido, hace más de dos años. Como entonces, sigo pensando que más que paradoja, debería llamarse la falacia de Monty Hall.)

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  6. A: Júbilo

    Quizás se entienda mejor si en vez de tres se juega con 100.000.000 de puertas

    Elige una y el presentador te señala las 99.999.998 donde NO está el premio.

    ¿Qué cree que sería más inteligente ahora?

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  7. Júbilo evidentemente el presentador del concurso lo que quiere es que no te lleves el premio. Pero el experimento trata de probabilidades, la cuestión es que cuando eliges la primera vez hay dos probabilidades de tres de que hayas escogido la errónea. Por eso una vez descartada una de las elecciones equivocadas de las dos restantantes no escogidas, lo más probables es que cambiando de elección aciertes. Es una cuestión de probabilidad, no de ganar un concurso. Evidentemente aunque sólo tengas una probabilidad entre tres de acertar a la primera, puede pasar, aunque se dará en menores ocasiones que el caso de errar.

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  8. O, por explicarlo de otro modo: alguien que llegue en el momento en que ya está abierta una de las puertas y a quien se invite a elegir entre las otras dos tiene, evidentemente, un 50 % de posibilidades de escoger la premiada. Para él la puerta mala ya abierta forma parte del decorado y juega en su elección un papel tan relevante como el vaso de agua sobre la mesa o el reloj de pulsera del presentador: ninguna. ¿Es posible mantener que mientras que para este recien llegado ambas puertas tienen la misma probabilidad de tener premio, para el concursante, que elige en las mismas condiciones que él –sabe que una puerta tiene premio y la otra no, y debe decidir cuál abre- una de ellas tenga el doble de probabilidades que la otra? Me resulta evidente que no.

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  9. Júbilo no se trata de las probabilidades que tienes una vez descubierta una opción errónea sino que cuando eligiste la primera vez tenías más probabilidas de equivocarte porque había más puertas con el objeto que no queríamos encontrar. Por eso al cambiar es más problable que aciertes. El anónimo te lo explica muy bien aumentando las probabilidades de error, así se hace más evidente.

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  10. Anónimo: no estoy seguro de entender cuál es la intención de tu razonamiento. Tal y como yo lo entiendo, tu ejemplo hace aún más evidente que las puertas que en cualquier caso el presentador va a abrir, porque no están premiadas; sean una o noventa y nueve millones, no cambian en nada el hecho sustancial de que la elección real se presenta entre dos puertas, una premiada y otra no, al cincuenta por ciento para cada una.

    Amy, a tí sí que no te sigo en absoluto. ¿Qué quieres decir con "es una cuestión de probabilidad, no de ganar un concurso"? De la cuestión de probabilidad es, naturalmente, de lo que yo estoy hablando, vístalas como la vistas. La probabilidad de acertar con la puerta premiada, levantar la sota de bastos, elegir el camino correcto, ganar el concurso... ¿qué más da cómo lo llames, mientras las condiciones sean equivalentes? Y creo que la probabilidad es del cincuenta por ciento para cada una de las dos opciones y no, como pretende la paradoja, del 66'666% para una y el 33'333% para la otra.

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  11. No, Amy: el anónimo lo que me explica muy bien es que, evidentemente, si las puertas iniciales fueran diez y el presentador abriera nueve equivocadas antes de dejarme reducido a elegir entre dos, eso no significaría que tengo nueve veces más de probabilidades de acertar cambiando que conservando la elección original. Y que lo que es obviamente falso para el caso de diez puertas, o de cien millones, es igualmente falso, aunque no sea obvio, para el caso de tres. Su intervención era en favor de mi teoría, no de la contraria.

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  12. Bueno no sé Jubilo, lo mismo me explico fatal. El problema trata de que en tu primera elección tenías sólo un 33% de probabilidades de acertar. Con lo cual un 67% de probabilidades de no haber acertado. Partiendo de esto es más probable que tu primera elección no sea la correcta. Al ser más probable que hayas elegido lo correcto y al haberte eliminado del juego la otra elección incorrecta, si cambias la opción tienes un 67 % de probabilidades de acertar al cambiar y un 33% de probabilidades de equivocarte. Por eso no tienes un cincuenta por ciento al descartar una de las puertas, porque tu primera elección es más probable que sea errónea debido a la desventaja inicial.

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  13. Errata:...."Al ser más probable de haber elegido lo incorrecto"...

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  14. Jubilo lo que sí me parece evidente para mi es que el anónimo no apoya tu teoría, un tercio de posibilidades de acertar sigue siendo un amplio margen para acertar de forma que a ti parezca inapreciable la diferencia con el un medio que defiendes. Sin embargo cuando esas probabilidades de error son tan grandes, más de noventa y nueve mil contra una solo probabilidad de acierto, es casi imposible que al cambiar de puerta no aciertes de tirón.

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  15. Mi primera elección, Amy, no fue entre tres puertas, aunque lo pareciera: fue solo entre dos, porque una de ellas -e, insisto, no una elegida al azar, sino con seguridad una no premiada -va a ser retirada de la elección, y esta retirada forma parte de los datos del problema matemático que estamos tratando de dilucidar. En realidade ya desde el principio estás eligiendo entre una puerta sin premio -cualquiera de ellas; son equivalentes, puesto que el paso siguiente, en cualquier caso, será eliminar la otra- y otra con él. Desde el principio hasta el final, quien juega tiene un cincuenta por ciento de probabilidades de acertar. Ni menos al principio, ni más al final.

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  16. Creo, Júbilo, que tu error está en decir que ya en la decisión inicial el concursante tiene un 50% de probabilidades. No, en ese momento tiene 1/3 porque puede elegir cualquiera de las tres puertas. Es el presentador el que abre una puerta condicionado por la elección previa del concursante, la cual es efectivamente libre. Dices que, aunque el concursante aún no lo sepa, ya en su primera elección tiene la mitad de probabilidades de acertar porque una de las puertas no cuenta. Falso: cuentan las tres; será el presentador el que sólo podrá abrir una o dos, según cuál haya sido la elección del concursante.

    Me cuesta explicarlo mejor, pero creo que lo que hace variar las probabilidades es justamente la información que se añade al abrir intencionadamente una puerta en la que no hay coche. El concursante sabe que el presentador sabía antes de abrir la puerta mala que ahí no había coche. Si el presentador no supiera dónde está el coche y abriera una de las otras dos puertas al azar, las cosas cambiarían. Si la puerta que se abriera no ocultara el coche, entonces el concursante tendría un 50% en cada una de las puertas; si, en cambio, abriera el coche, el concursante tendría un 0% en ambas puertas. Esta otra versión del juego también aparece en la web que he vinculado en este post (por supuesto, si el presentador desvela "azarosamente" el coche, hay que volver a jugar y ese resultado no cuenta para la estadística).

    El ejemplo de Anónimo pienso que no refuerza tu teoría sino que, al contrario, hace más fácil de ver la explicación que doy en el post. Como cien mil puertas es un número muy grande, piensa en diez puertas y hazlo secuencialmente. Has elegido una puerta y sabes que el presentador sabe dónde está el coche. Va el tío y abre otra puerta vacía y tú (imagino) no cambias. Piensa que, al principio del juego, hay un 10% de posibilidades de que tu puerta sea la correcta y, por tanto, un 90% de posibilidades de que la correcta sea cualquiera de las 9 restantes. Y ahora piensa que hay el 100% de posibilidades de que el presentador NO abra la puerta buena. Es él quien está condicionado y al abrirte puertas que NO tienen el coche, está aumentando tu información y, por tanto, reduciendo tu incertidumbre (e incrementando las probabilidades de acierto si cambias la elección inicial).

    Pero en fin; es difícil de explicar. Intuyo que es de esas cosas que la tienes que ver, casi como si fuera un fogonazo que te llega (es lo que me ocurrió). Te aconsejo que pruebes un rato con la web para que, al cabo de suficientes intento te convenzas (yo hice 40).

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  17. No, Amy. Insisto en qué no sé cuál era la intención del anónimo, pero, fuera cual fuese, objetivamente su ejemplo lo que hace es convertir en evidente mi teoría. El hecho de que al principio hubiera cien millones de puertas y al final solo dos, porque entre medias alguien abriera noventa y nueve millones novecientas noventa y nueve mil novecientas noventa y ocho puertas sin premio; este hecho, digo, evidentemente NO multiplica por 99.999.998 la probabilidad final de acertar cambiando la elección inicial. Y, por el mismo motivo, el hecho de que al principio haya tres puertas y al final solo dos, TAMPOCO la multiplica por dos, como pretende la paradoja de Monty Hall. Es un típico caso de reducción al absurdo. Si un razonamiento abstracto, de carácter general, da resultados erróneos o absurdos en un caso extremo, deducimos que es un falso razonamiento. Porque los verdaderos razopnamientos, en especial los matemáticos, funcionan en TODOS los supuestos, incluidos los extremos.

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  18. Miroslav, insisto en mi ejemplo de hace un rato. ¿Que probabilidad tiene de dar con la puerta premiada quien llega una vez abierta una de las malas? Creo que no es discutible que tiene un 5O%. Pues bien, la elección del concursante entre cambiar o no su opción inicial es del todo equivalente a la del recien llegado entre abrir una u otra de las dos puertas cerradas. No me parece posible sostener que no tengan la misma probabilidad, exactamente, de acierto. Sinceramente, para mí la cuestión es obvia. Una elección entre tres posibilidades en la que sabemos que una de ellas no intervendrá es una elección entre dos. Cuantas más vueltas le doy, más me afianzo en ello.

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  19. Júbilo, me olvidé referirme a tu ejemplo, disculpa. Si quien llega de nuevas NO SABE lo que ha pasado, si sólo ve dos puertas cerradas y le dicen que en una hay un coche, tiene efectivamente el 50%. Si, en cambio, sabe la mecánica del juego y que el concursante ha elegido antes de que el presentador abriera una mala de entre las dos que no había elegido, entonces, al igual que el concursante, debería calcular que hay un 67% de probabilidades de que el coche esté tras la puerta la que NO ha elegido el concursante (sea ésta cual sea).

    Estoy seguro de que no te voy a convencer, máxime cuando dices que para ti la cuestión es obvia. Insisto en aconsejarte que hagas la prueba empírica en la web que he vinculado. Si tras un número suficiente de pruebas, compruebas (como comprobarás) que siguiendo la estrategia del cambio de puerta tu porcentaje de aciertos se sitúa en torno al 67%, ¿seguirás pensando que tu conclusión es la correcta?

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  20. Miroslav, me cuesta creer que digas en serio que la probabilidad matemática de un suceso depende de lo que haya en la cabeza de quienes intervienen en él. ¿Crees que la cara de la moneda tendrá más o menos probabilidades de caer hacia arriba según quien la tira sepa más o menos cosas sobre las últimas andanzas de la moneda? Sinceramente, esta última intervención tuya lo único que hace es afianzarme en mi teoría. Piénsalo un poco y te darás cuenta de que lo que dices no es defendible.

    Entraré en la web y probaré. Naturalmente, si un número suficiente de tiradas -y no me lo parecerán menos de doscienta, por lo menos- me diera una desviación significativa del 50 5 que estoy seguro de que dará, me replantearía mi teoría, que de momento sigue pareciéndome obvia. Soy obstinado, pero espero no ser obtuso.

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  21. Júbilo,

    Si en lugar de 3 puertas tuvieras delante 10 y tú eligieses una de ellas (1/10 posibilidades de acertar) ¿crees que después de abrir las ocho puertas malas tus probabilidades de acertar serían de 1/2?
    ¿¿Cómo es posible que haya crecido tu probabilidad por el mero hecho de haber abierto 8 puertas que de antemano se sabe que son las malas???
    ¿Cómo explicas eso?

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  22. Raquel, naturalemnte mi probabilidad aumenta porque al principio estoy eligiendo entre diez opciones y al final entre dos. Cada vez que se cambia un dato, se plantea una nueva elección, con una nueva probabilidad para cada opción posible. La probabilidad no es una característica mística, no es algo ni intrínseco de cada puerta, ni mental de quien elige. Es la expresión matemática, perfectamente objetiva, resultante de dividir el número de opciones que puedes elegir, una en este caso, por el número total de opciones posibles, en este caso dos. Y varía al variar cualquiera de esos datos.

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  23. Es la probabilidad de acertar al cambiar de puerta lo que se mide aquí, no la probabilidad que existe de que el objeto deseado esté en una y otra puerta querido Júbido, evidentemente en las dos últimas puertas existe la misma probabilidad de que el objeto esté en una que en otra debido a que en las abiertas ya sabemos que sólo había el objeto no deseado.

    El experimento no mide la probabilidad que tiene el objeto de estar en una puerta o en otra, repito, sino en la probabilidad de acierto que tenemos si cambiamos de puerta en un experimento que sigue las pautas dadas por Miros.

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  24. Querida Amy, "acertar al cambiar de puerta" y "que el objeto esté en una u otra" no son más que dos formas distintas de referirse exactamente a lo mismo. Y, naturalmente, la probabilidad de una y otra cosa es por ello exactamente la misma.

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  25. Pues no son la misma cosa y donde se ve muy claro es el ejemplo de anónmimo. Si a mi me dan a elegir entre las 100.000 puertas, donde sólo una puerta tiene la solución a buscar, hay una probabilidad enorme de que la elegida por mi no sea la correcta. Por eso cuando me dan la posiblidad de cambiar de puerta en la segunda vuelta entre sólo dos puertas, una de ellas la elegida por mi anteriormente(con una alta probabilidad de no ser la correcta) y con la nueva variable de que el objeto buscado está seguro en una de las dos, cambiar de puerta aumenta mis opciones (mis probabilidades) de ganar en proporción igual a las puertas abiertas que no tenían el objeto que buscamos.

    Pero bueno que ya me repito mucho, la probabilidad tampoco tiene mucho que rascar, sigue leyes matemáticas, si tú crees que son erróneas sólo tienes que demostrarlo, al igual que los matemáticos que demostraron estas leyes tuvieron que hacerlo antes. Así es la ciencia de puñetera, que no basta con creerlo, hay que verlo.

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  26. Miroslav, Amy, Raquel, Mery, Anónimo, señoras y señores: creedme que con bastante disgusto me veo en el penoso caso de haceros saber que, entrado en un simulador internético del juego de Monty Hall y hechas doscientas pruebas, todas ellas con la estrategia de mantener la elección inicial, he obtenido sesenta y seis aciertos, que son exactamente el 33%. Otras doscientas pruebas realizadas optando en todas ellas por cambiar la elección inicial han arrojado un sesenta y siete y pico por ciento de aciertos. No me resulta agradable, pues, pero sí ineludible, declarar que considero evidente que la teoría con la que llevo dando la tabarra los últimos diez o doce comentarios está equivocada y que, en consecuencia, procedo a retractarme de dos de mis afirmaciones más tajantes y obviamente erróneas: 1 - la paradoja de Monty Hall NO es una falacia y 2 - si inicialmente hubiera 100.000.000 de puertas y alguien redujera la elección a dos, abriendo 99.999.998 puertas sin premio, la probabilidad de acertar al cambiar la elección inicial SÍ se multiplicaría proporcionalmente.

    Me molesta, naturalmente, estar equivocado, y me molesta más aún estarlo con tanto énfasis y tan en público. Pero lo que más me jode de todo es que en este mismo momento sigo sin ser capaz de decir en qué se equivoca mi razonamiento, aunque sea consciente de que sin duda se equivoca en algún sitio. Seguiré dándole vueltas.

    Muchas gracias por su amable atención.

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  27. A Jubilo:

    Si se llama paradoja es por algo ;-)

    Volviendo a mi ejemplo. Solo razonando, sin entrar en simulaciones que eso es trampa. Elija una puerta sobre cien millones. De diez veces, ¿cuántas crees que acertaría? Ninguna, ¿verdad?. ¿Y por qué cree que sus resultados serían diferentes (cinco aciertos) si le enseñaran todas las anteriores menos una sin premio? Al no cambiar de puerta, está rechazando "información" y en esa pérdida de información está la solución de la paradoja.

    Insisto, si se llama paradoja es por algo

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  28. Por si te ayuda para que dejes de darle vueltas al asunto, aquí va una explicación desde otro enfoque (a mí me gusta más la primera, pero en fin).

    Imaginemos la secuencia de los acontecimientos del concurso como un evento probabilístico. Esta secuencia es la siguiente: el coche se pone tras una de las tres puertas; el concursante escoge una de las tres puertas; el presentador abre una puerta que no es la que ha escogido el concursante y, además, no tiene el coche. En ese momento le toca al concursante decidir si cambia o no su elección primera. Hasta ese momento, la combinatoria total de posibles secuencias de acontecimientos da un total de 18 (3 posibles ubicaciones del coche x 3 posibles primeras elecciones x 2 posible spuertas a abrir; aunque esas dos posibles puertas pueden tener que ser la misma cuando el concursante ha elegido la puerta tras la que NO está el coche; en esos casos, se repite dos veces la combinación para mantener la equiprobabilidad de cada acontecimiento). Te las escribo a continuación con la siguiente notación: A-B-C, donde A es el número de la puerta donde está el coche (obviamente puede ser indistintamente el 1, el 2 o el 3); B es la puerta que elige el concursante (lo mismo que A); y C es el número de la puerta que abre el presentador (que tiene que ser distinta de A y de B). Al lado de cada secuencia te indico qué pasa si el concursante CAMBIA su elección.

    1-1-2 --- Cambiaría a la puerta 3 y PIERDE
    1-1-3 --- Cambiaría a la puerta 2 y PIERDE
    1-2-3 --- Cambiaría a la puerta 1 y GANA
    1-2-3 --- Cambiaría a la puerta 1 y GANA
    1-3-2 --- Cambiaría a la puerta 1 y GANA
    1-3-2 --- Cambiaría a la puerta 1 y GANA
    2-1-3 --- Cambiaría a la puerta 2 y GANA
    2-1-3 --- Cambiaría a la puerta 2 y GANA
    2-2-3 --- Cambiaría a la puerta 1 y PIERDE
    2-2-1 --- Cambiaría a la puerta 3 y PIERDE
    2-3-1 --- Cambiaría a la puerta 2 y GANA
    2-3-1 --- Cambiaría a la puerta 2 y GANA
    3-1-2 --- Cambiaría a la puerta 3 y GANA
    3-1-2 --- Cambiaría a la puerta 3 y GANA
    3-2-1 --- Cambiaría a la puerta 3 y GANA
    3-2-1 --- Cambiaría a la puerta 3 y GANA
    3-3-1 --- Cambiaría a la puerta 2 y PIERDE
    3-3-2 --- Cambiaría a la puerta 1 y PIERDE

    Como puedes ver, de las 18 secuencias, si cambia la decisión, gana en 12 de ellas y pierde en las 6 restantes; que es justamente la proporción 2/3 1/3 a favor del cambio. Esta explicación, con la imagen de una ruleta, aparece (en inglés) en la web que he vinculado en el post.

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  29. Creo que a fuerza de darle vueltas he llegado a entender dónde estaba mi error. Lo cual, Miroslav, me recuerda que no incluí en mi palinodia una de las declaraciones más importantes: tu respuesta sobre la probabilidad de acertar de un recien llegado que no estuviera en antecedentes, lejos de ser indefendible, como te dije, era perfectamente correcta.

    Cualquier acto aleatorio puede serlo más o menos, según sea el azar el único factor o intervengan además otros. La máxima aleatoriedad implica que las probabilidades de todas las opciones son idénticas, porque el azar es el único factor. A medida que intervienen, además, otros factores, disminuye la aleatoriedad y el reparto de probabilidades se hace más desigual, hasta llegar a la aleatoriedad cero, en que el azar no interviene en absoluto y la probabilidad no se reparte: una sola opción tiene entoncess probabilidad 1, y las restantes cero. Un claro ejemplo es la extracción de bolas blancas y negras de un saco. Cuando el número de bolas de ambos colores es igual, solo depende del azar, la aleatoriedad es máxima y ambos colores tienen una probabilidad de salir del 50 %. Si el número no es igual, entonces el suceso depende de la proporción entre el número de bolas de cada color, además del azar. La aleatoriedad disminuye y la probabilidad del color más numeroso aumenta a costa de la del menos numeroso.

    Bien, aquí el hecho aleatorio es la elección del concursante. Sin ninguna información, la aleatoriedad es máxima y las probabilidades de ser elegidas de cada una de las tres puertas, iguales: 1/3 cada una. Por lo cual es de 1/3 la de dar con la premiada. Pero a medida que aumenta la información del concursante, y que ese factor empieza a intervenir en su elección junto con el azar, disminuye la aleatoriedad y aumenta la probabildad de acertar.

    El acierto del concursante, pues, que tiene más información y depende menos del azar, tiene por ello una probabilidad más alta que el acierto del recién llegado, que solo depende del azar y sí que elige, por tanto, al 50%. Ya Amy me advirtió que el acto aleatorio era cambiar o no la elección primera, y eso debería haberme dado la pista. Pero en fin, nunca es tarde.

    En qué medida aumenta exactamente al probabilidad de acierto del concursante sobre la de quien no tiene su información, lo explicaste brillantísimamente en el mismo post: si elegí una mala, acierto al cambiar. Si elegí una buena, fallo al cambiar. Mi probabilidad de elegir una mala era de 2/3, luego esa misma es mi probabilidad de acertar al cambiar. Solo puedo decir en mi defensa que ese razonamiento me pareció irrebatible en cuanto lo ví. Mi problema estaba en saber cuál era el fallo del mío, que también me parecía irrebatible y decía justo lo contrario. Creo que ya lo he descubierto. Gracias.

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  30. Me alegra lo indecible comprobar -ha sido fascinante el proceso- que por fin Júbilo se ha convencido y no por ningún principio de "autoridad" invocable, sino 1) por puro empirismo (el juego que ha sido probado en la web, y 2) porque ha dado por su cuenta con el razonamiento correcto. Eaxtamente así opera el progreso del conocimiento científico, con 1 y 2.

    Otra cosa más aún:

    En todo lo anterior, s eme ocurre, hay un esbozo rudimentario del Principio de Incertidumbre de Heisenberg que muestra cómo el observador influye decisivamente en el comportamiento de lo observado. Sólo un esbozo, porque lo que en realidad pasa es que al contar con nueva información disminuye el azar (no la ivertidumbre, que obviamente también), mientras que en rigor cuando observas la posición de una partícula no puedes determinar su momento, o a la inversa, sino que fijas esa posición que es una probabilidad. Hay un libro sobre física cuántica y Alicia en el país de las maravillas que muestra lo anti intuitivo de toda esa mecánica.

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  31. ¿CONOCEN LA TEORÍA DE PROBABILIDADES LOS ZORROS?

    Casi se me olvidaba y era mi intención contralo aquí. Hay filmaciones de etólogos (estudiosos del comportamiento animal en la naturaleza, no en laboratorio) que muestran un zorro ante tres bocas de huras de ratones de campo. El zorro comienza a escarbar en una de lass salidas sin perder de vista las otras dos; en ese momento, de otra boca sale deisparado un ratón y se escapa; inmediatamente el zorro comienza a escarbar en la tercera boca ¿Alguna sugerencia? Sólo añadir que el comportamiento es igual en varios casos registrados, siempre lo hace...

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  32. Lo que cuentas del zorro y las madrigueras de ratones me parece fascinante y es tentador pensar que el cambio del animal obedece a un cálculo instintivo (evolutivo) para optimizar sus probabilidades. Sin embargo, no acierto a verlo. Desde luego, no es el mismo supuesto que el del concurso televisivo y, si bien el zorro recibe una información con la salida del ratón, la misma no me parece relevante en lo que se refiere a cambiar las condiciones de azar.

    El zorro no sabe en cuál de las tres bocas hay un ratón; ni siquiera sabe en cuántas de esas bocas hay un ratón. Por tanto, ya hay una diferencia fundamental al tomar su primera decisión (la de ponerse a escarbar ante la madriguera 1, por ejemplo). ¿Qué probabilidad tiene de que el ratón esté ahí? Pues, si no hay ningún ratón, 0; si hay un ratón, 1/3; si hay 2 ratones, 2/3; y si las tres están ocupadas, 1. Pero, ¿cuál es la probabilidad relativa de cada una de esas cuatro situaciones posibles? Pues ni idea; y aquí, aun admitiendo una distribución al azar, ya me surge una primera duda en las hipótesis de cálculo.

    Porque puedo suponer, en primer lugar, que cada una de las posibles situaciones de estado (llena/vacía) de las tres madrigueras son equiprobables. Cada situación se puede simbolizar como una cifra binaria de tres dígitos (el 1 madriguera llena, el 0, vacía), en la que la primera cifra representa el estado de la boca 1, la segunda de la boca 2 y la tercera de la boca 3. Obviamente, hay 8 posibles estados (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111), lo que nos permite concluir que la probabilidad de que en cualquier madriguera (la que elija inicialmente el zorro) haya un ratón es del 50%.

    Si, en cambio, lo que es equiprobable es la cantidad de ratones que hay en un momento dado (es decir, es igual de probable que haya 0, 1, 2 o 3 ratones cuando aparece el zorro), la lista de estados posibles "equiprobables" aumenta a 12. Sin embargo, con esos 12 posibles, la probabilidad de que en cualquier boca que escoja el zorro haya un conejo es también del 50%.

    Para no liarnos, supongamos que el zorro se pone inicialmente escarbar en la madriguera 1 y, al poco rato, sale un ratón de la madriguera 2 (por supuesto, vale con cualquier otro par de bocas distintas). ¿Qué información recibe el zorro en ese momento? Pues que de las 8 situaciones posibles en mi primera hipótesis, cuatro no eran válidas; o que de las 12 de mi segunda hipótesis, 6 tampoco lo eran. En ambos casos, se reducen las posibilidades iniciales a la mitad. Pero, en ambos casos, sigue teniendo el 50% de posibilidades de que en la madriguera 1 haya un ratón, así como también un 50% de que lo haya en la madriguera 3.

    La otra forma que se me ha ocurrido de enfocarlo es asumir que da igual el número de ratones que inicialmente haya, que eso no afecta al cálculo de probabilidades. Una vez que sale un ratón de la madriguera 2, además de hacerse evidente que la hipótesis de 0 ratones era falsa, sólo es relevante que hubiera 2 ratones en total (es decir, que quede 1). Porque, en efecto, si sólo había un ratón, la probabilidad de seguir escarbando en la boca 1 es 0, pero también es 0 cambiarse a la boca 3; si había tres ratones, la probabilidad de seguir escarbando en la boca 1 es 1, pero también es 1 cambiarse a la boca 3. Como he dicho pues, la decisión del zorro (seguir en la misma madriguera o cambiar) sólo tiene efectos en el resultado final si había inicialmente 2 ratones.

    Si el zorro se pone a escarbar en la madriguera 1 asumiendo que hay 2 ratones (o lo asume instantáneamente en cuanto ve salir a uno de la boca 2), tenía tres posibles situaciones de estado y 2/3 de probabilidades de acertar escogiendo la madriguera 1. Cuando sale el ratón de la 2, la información que recibe es que de esas tres posibilidades iniciales, una no era válida (la 101), pero las dos que quedan siguen siendo equiprobables (y en una acierta y en otra falla).

    En fin, que como dije al principio de este rollo, no logró encontrar una explicación probabilística al comportamiento del zorro. Por buscar analogías, el caso que planteas más se parece a la variante de la paradoja de Monty consistente en que el presentador abre una de las tres puertas al azar, porque NO SABE detrás de cuál está el coche. En ese supuesto, como seguro que sabes, el concursante tiene un 50% de probabilidades de ganar cambiando de puerta y también, lógicamente, manteniendo su decisión inicial; la información aportada por la apertura de la puerta no es relevante.

    Aun así, si es verdad que el zorro cambia su decisión como consecuencia de haber visto salir a un ratón de una madriguera distinta a la que está escarbando, parece evidente que la información que recibe SÍ es relevante. Pero yo no alcanzo todavía a ver por qué mejora sus probabilidades de éxito. Quedo a la espera de tus aclaraciones.

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  33. Las tres bocas pertenecen a la misma madriguera, que es comunal y por tanto tiene "n" ratones que pueden salir por cualquiera de las tres bocas, pero además te señalo: el zorro al escarvar una salida, la anula, la tapona, y segundo, se demuestra que cambiar de boca aumenta sus posibilidades, aunque estoy de acuerdo que el paralelismo con tu concurso no es el mismo...¡tachan...!

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  34. Faltaban datos ... Y en efecto, no tiene nada que ver con el concurso, ni siquiera con el cálculo de probabilidades. Porque, suponiendo (como imagino) que el zorro no puede meterse por ninguna boca, su comportamiento lógico es taponarlas todas menos una, independientemente de que salga o no un ratón por cualquiera de las bocas restantes. Y, por supuesto, esperar en la que no ha cegado con la boca abierta. Los ratones, por su parte, tienen que abrir nuevas bocas sin que el zorro se de cuenta o aguantar el asedio a ver si duran más que el zorro sin desfallecer.

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  35. No, la hura se tapona como efecto indirecto; el zorro lo que busca es atrapar al ratón en la galería de salida. Y sí tiene que ver con probabilidades, al igual que no un caso concreto como este, sino toda la genética de poblaciones y evolutiva, más matemática y probabilística que otra cosa.

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