Las tres puertas

En 21 (Blackjack) una película irrelevante que vi el fin de semana pasado, un profesor de matemáticas del MIT (Kevin Spacey) plantea en su clase lo que llama el problema del presentador de concursos. En un concurso de televisión se le ofrece al concursante elegir entre tres puertas distintas; tras una hay un coche nuevo, tras las otras dos, cabras. El concursante elige una de esas tres y enseguida el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada una, abre una puerta distinta de la elegida, tras la cual hay una cabra. Entonces el presentador le da la opción al concursante de cambiar de puerta. La pregunta es: ¿cuál es la decisión más inteligente, mantener la elección original o cambiar a la otra puerta?

En la peli, el alumno a quien se le plantea el problema, un geniecillo matemático, responde sin dudar que cambiaría de puerta. ¿Por qué? Le pregunta Kevin Spacey, ¿no piensas que el presentador está usando la psicología inversa para engañarte? En realidad no me importaría, contesta el chaval, porque mi respuesta está basada en las matemáticas, en el cambio de variable. Pero si sólo te ha hecho una simple pregunta, le dice el profesor fingiéndose extrañado. Es que eso lo cambia todo, responde el alumno; y se explica: cuando dijo por primera vez que eligiera una puerta, tenía 1/3 de posibilidades de acertar, pero cuando se ha abierto una de las puertas y puedo volver a elegir paso a tener 2/3 de probabilidades de elegir correctamente si elijo cambiar. Ante esta explicación, el profesor exclama entusiasmado: ¡exacto!

Pero yo no me quedé convencido con la explicación del estudiante geniecillo. Claro que cuando eligió la primera vez tenía 1/3 de probabilidad de éxito; pero, ¿por qué en el segundo momento tenía 2/3 si cambiaba de puerta? El coche estaba detrás de alguna de las dos que seguían cerradas, luego había de tener un 50% de probabilidad de acertar si cambiaba y otro 50% si mantenía su elección inicial. Este razonamiento, unido a la natural desconfianza del concursante (el presentador quiere engañarme, etc), debe ser el común en este tipo de situaciones y por eso, como dice Kevin Spacey, la mayoría prefiere no cambiar. No lo entendía, pero no dudaba de que sería cierto lo que decían en la película: los guionistas de Hollywood no cometen desatinos de ese cariz. Así que me quedé con la mosca, dándole vueltas al asunto. Me encantan este tipo de problemillas.

Esta semana he tenido (cómo no) mogollón de trabajo y no he dispuesto de un rato para pensar sobre lo que se me antojaba una paradoja. Pero el cerebro debe contar con compartimentos aparte que funcionan por su cuenta, especialmente durante el sueño. Porque esta mañana me he levantado con la intuición de haberlo resuelto, de que sabía la solución, pero sin ser capaz de expresarla. Hace un ratito, aprovechando que he rematado la tercera entrega del trabajo, me he sentado con una hoja en blanco y un lápiz para, mientras garabateaba, tratar de contarme coherentemente por qué la elección correcta es cambiar de puerta. Y al final, creo que me lo he explicado de modo que me he convencido. Ahí va:

Supongamos que escogí al principio la puerta tras la cual estaba el coche. Si cambio de puerta, pierdo; si me mantengo, gano. ¿Cuál es la probabilidad de que pierda cambiando de puerta? Pues la misma de escoger la puerta buena en el primer intento: 1/3. Ahora supongamos que escogí una puerta mala. Una vez que el presentador abre una puerta también mala, es obvio que el coche está en la que queda. Así que, si cambio de puerta, gano; si me mantengo, pierdo. ¿Cuál es la probabilidad de que gane cambiando de puerta? Pues la misma de elegir la puerta mala en el primer intento: 2/3.

Bonito, ¿no? Me he quedado con un gustirrinín interior de lo más agradable. Por supuesto, utilidad práctica no le veo mucha (no tengo previsto presentarme a ningún concurso tipo Un, Dos, Tres), pero ... ¿qué más da?


PS: Después de escribir el texto anterior, buscando en Internet imágenes para ilustrar el post, he descubierto que entre 1963 y 1976 existió un concurso en la televisión estadounidense llamado Let's Make a Deal (Hagamos un Trato) en el que, efectivamente, se ofrecía al concursante elegir entre tres puertas y, hecha la elección y abierta una de las rechazadas, se le dejaba cambiar la decisión inicial. Resulta que el problemilla que plantea Kevin Spacey en la película es sobradamente conocido y se llama Paradoja de Monty Hall, que es el nombre del presentador del concurso original. La solución es la que yo he contado, tal como la explican (en inglés) en el video que pongo al final del post. Por último, para quien tenga interés en experimentar las probabilidades en vivo, puede simular el concurso original en esta web; comprobará que si siempre opta por la estrategia de cambiar de puerta, después de un número suficientemente grande de pruebas, habrá ganado el coche en el 67% de las ocasiones.

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