Carpetazo al acertijo veraniego de los sobres
Voy a dar por zanjado el acertijo lógico, reconociendo que saber que está mal decepciona a cualquiera que intente resolverlo y tampoco es demasiado atractivo averiguar el por qué. Asumo pues la regañina de Lupita (que es la única, junto con otro amigo, me consta que han reflexionado sobre el asunto) y simplemente pasaré a explicar algo más el error del planteamiento. No obstante, en mi descargo, quiero señalar que el juego que se presenta es de lo más sugerente en cuanto a las posibilidades que abre; de hecho, he pasado unos buenos ratos dándole vueltas.
Con las condiciones del concurso sólo hay 8 posibles combinaciones de euros en los tres sobres (no 7 como dije ayer). De otra parte, puede haber hasta 6 permutaciones distintas de los tres concursantes, atendiendo al orden en que fueran preguntadas por el concursante. La imagen adjunta recoge, para cada una de las 6 permutaciones, una tabla que simula, para cada posible combinación de cantidades de euros en los sobres, cómo funcionaría el concurso. Por ejemplo, en la permutación 3 (Beatriz-Ana-Carmen), si los sobres contuvieran la segunda combinación (1-3-9), el presentador preguntaría a Bea que no sabría responder (con 3 € en su sobre, en los sobres A y C pueden haber 1-9 o 2-8). Luego preguntaría a Ana y ésta, con 1 € en su sobre, sólo podría descartar la combinación 1-2-10 (ya que de serlo, Bea habría acertado) pero dudaría entre tres más (1-3-9, 1-4-8 y 1-5-7) por lo que tampoco contestaría. Finalmente le tocaría a Carmen quien, sabiendo que tiene 9 € en el sobre C, acertaría con la única combinación posible (la 1-3-9). El lector curioso puede comprobar cualquiera de las 48 combinaciones (8 por cada permutación) que aparecen en la tabla; espero que no haya cometido nuevos errores.
Lo importante es que, en cada una de las seis ordenaciones posibles, hay combinaciones de euros que permiten ganar a Ana, a Bea y a Carmen. O, dicho de otra forma, si el concursante (conchabado con el presentador) no tiene capacidad para saber lo que hay en ninguno de los sobres, por más que fuerce el orden de las preguntas no podrá en ningún caso garantizarse la victoria. La solución (errónea) del anterior post decía que el orden trucado era Carmen-Beatriz-Ana, pero si vamos a la tabla 6 de la imagen vemos que en esa permutación Carmen gana con las dos primeras combinaciones y Beatriz con otras dos; pero lo curioso es que si saliera cualquiera de las cuatro combinaciones restantes, Carmen y Beatriz no sabrían la respuesta, pero Ana tampoco. Y quienquiera puede molestarse en comprobar que no hay ninguna ordenación de las seis posibles que garantice a ninguna de las tres concursantes la victoria. Es decir que el planteamiento del problema era erróneo. El presentador no había hecho trampas porque su única competencia que era fijar el orden de las preguntas no valía para nada. A lo mejor no había nada sospechoso en su muerte.
Ahora bien, como ya adelanté en el post anterior, podríamos pensar que hay determinadas combinaciones de euros que los organizadores del concurso nunca usarían porque, en tal caso, las concursantes sabrían la solución de los otros sobres sin necesidad de pensar. Son 3 de las 8 combinaciones posibles: la 1-2-10 (Bea y Carmen), la 1-3-9 (Carmen), y la 3-4-6 (Ana). A partir de este supuesto expliqué en el post anterior cómo Ana, si era preguntada en último lugar, se aseguraba la victoria. Pero no es verdad, porque, si no cuentan esas tres combinaciones, también las otras dos concursantes lo habrían deducido y, como se ve en las nuevas tablas, volvemos a una situación en la que ningún orden garantiza a ninguna concursante que sólo ella va a acertar. Por ejemplo, si la combinación es la 2-4-7 en la sexta ordenación, preguntada Carmen no podrá responder (tiene dos opciones posibles); luego va Bea quien también tiene dos opciones y, por tanto, no contestará; finalmente Ana, tiene en principio tres opciones, pero sabe que en el sobre B no puede haber 3 euros (porque en tal caso Bea habría acertado) y que en el sobre C tampoco puede haber 6 euros (pues Carmen habría dado la respuesta), por lo que es ella, Ana, la que acierta. Si no me he equivocado (y animo al lector a que lo verifique), no hay ningún orden concreto que garantice a ninguna de las tres concursantes la seguridad de que ella y sólo ella va a acertar la respuesta.
Pero todavía podríamos dar otra vuelta de tuerca y deducir lícitamente que si los concursantes no han de poner combinaciones que posibilitan la inmediata deducción de la serie a ninguna de las concursantes, también deberían suprimir aquellas series que, hecha la exclusión de las tres primeras en el conteo de opciones, permiten de nuevo a los concursantes la deducción automática de la solución. En las tablas de esta segunda imagen he quitado las tres series ya identificadas anteriormente (que es lo que habrían hecho las concursantes) y podemos comprobar que aparecen ahora dos series más que permiten la respuesta inmediata: la 2-3-8 (Si Beatriz encuentra 3 euros en el sobre B sabe inmediatamente las cantidades de los otros dos) y la 2-5-6 (en este caso es Carmen a la que se le daría la solución). De las ocho series posibles, quedarían pues sólo 3 válidas. La simulación es ahora sencillísima porque el concurso pierde casi todo su interés. Como puede comprobarse en la nueva columna de tablas, da igual el orden de los concursantes, cualquier combinación se resuelve antes de preguntar al tercero. Y, por supuesto, no hay ningún orden en el que algún concursante pueda asegurarse que, para todas las combinaciones, él será el que gane el premio.
A estas alturas del rollo, seguro que más de uno se ha dado cuenta que cabe una tercera vuelta de tuerca porque, si los concursantes han quitado de sus conteos de opciones 5 de las 8 combinaciones posibles, las 3 que quedan son también, ahora, suprimibles. En efecto, la 1-4-8 hace que Carmen sepa inmediatamente las cantidades de los sobres A y B; la 1-5-7 cumple idénticas condiciones para Beatriz; y la 2-4-7 para Ana. O sea, que llegamos a la conclusión absurda de que no hay ninguna combinación válida porque todas permiten que alguna de las concursantes, tan excelentes lógicas, sepa inmediatamente que vea la cantidad de su sobre, los euros que hay en los otros dos. ¡Menuda birria de concurso!
Habrá que asumir, por tanto, que no hay la restricción de no poner series que den la respuesta inmediata a algún concursante (para evitar suspicacias, la combinación concreta resultaría de un sorteo entre las ocho posibles). Volvemos pues a la primera simulación y a la conclusión inicial: no hay manera de garantizarse la victoria. Además, como se ve en la primera columna de tablas, quien sea el acertante depende tanto de la combinación que haya salido como del orden en que son preguntados, y en todas las permutaciones hay varias combinaciones que, tras el turno completo de preguntas, no permiten ningún ganador. Si, acabado este turno, se volviera a preguntar a las tres concursantes en el mismo orden, ¿podríamos asegurar que en todas las combinaciones de todas las permutaciones (48 supuestos) el concurso tendría siempre ganador con un máximo de dos turnos?
Con las condiciones del concurso sólo hay 8 posibles combinaciones de euros en los tres sobres (no 7 como dije ayer). De otra parte, puede haber hasta 6 permutaciones distintas de los tres concursantes, atendiendo al orden en que fueran preguntadas por el concursante. La imagen adjunta recoge, para cada una de las 6 permutaciones, una tabla que simula, para cada posible combinación de cantidades de euros en los sobres, cómo funcionaría el concurso. Por ejemplo, en la permutación 3 (Beatriz-Ana-Carmen), si los sobres contuvieran la segunda combinación (1-3-9), el presentador preguntaría a Bea que no sabría responder (con 3 € en su sobre, en los sobres A y C pueden haber 1-9 o 2-8). Luego preguntaría a Ana y ésta, con 1 € en su sobre, sólo podría descartar la combinación 1-2-10 (ya que de serlo, Bea habría acertado) pero dudaría entre tres más (1-3-9, 1-4-8 y 1-5-7) por lo que tampoco contestaría. Finalmente le tocaría a Carmen quien, sabiendo que tiene 9 € en el sobre C, acertaría con la única combinación posible (la 1-3-9). El lector curioso puede comprobar cualquiera de las 48 combinaciones (8 por cada permutación) que aparecen en la tabla; espero que no haya cometido nuevos errores.Lo importante es que, en cada una de las seis ordenaciones posibles, hay combinaciones de euros que permiten ganar a Ana, a Bea y a Carmen. O, dicho de otra forma, si el concursante (conchabado con el presentador) no tiene capacidad para saber lo que hay en ninguno de los sobres, por más que fuerce el orden de las preguntas no podrá en ningún caso garantizarse la victoria. La solución (errónea) del anterior post decía que el orden trucado era Carmen-Beatriz-Ana, pero si vamos a la tabla 6 de la imagen vemos que en esa permutación Carmen gana con las dos primeras combinaciones y Beatriz con otras dos; pero lo curioso es que si saliera cualquiera de las cuatro combinaciones restantes, Carmen y Beatriz no sabrían la respuesta, pero Ana tampoco. Y quienquiera puede molestarse en comprobar que no hay ninguna ordenación de las seis posibles que garantice a ninguna de las tres concursantes la victoria. Es decir que el planteamiento del problema era erróneo. El presentador no había hecho trampas porque su única competencia que era fijar el orden de las preguntas no valía para nada. A lo mejor no había nada sospechoso en su muerte.
Ahora bien, como ya adelanté en el post anterior, podríamos pensar que hay determinadas combinaciones de euros que los organizadores del concurso nunca usarían porque, en tal caso, las concursantes sabrían la solución de los otros sobres sin necesidad de pensar. Son 3 de las 8 combinaciones posibles: la 1-2-10 (Bea y Carmen), la 1-3-9 (Carmen), y la 3-4-6 (Ana). A partir de este supuesto expliqué en el post anterior cómo Ana, si era preguntada en último lugar, se aseguraba la victoria. Pero no es verdad, porque, si no cuentan esas tres combinaciones, también las otras dos concursantes lo habrían deducido y, como se ve en las nuevas tablas, volvemos a una situación en la que ningún orden garantiza a ninguna concursante que sólo ella va a acertar. Por ejemplo, si la combinación es la 2-4-7 en la sexta ordenación, preguntada Carmen no podrá responder (tiene dos opciones posibles); luego va Bea quien también tiene dos opciones y, por tanto, no contestará; finalmente Ana, tiene en principio tres opciones, pero sabe que en el sobre B no puede haber 3 euros (porque en tal caso Bea habría acertado) y que en el sobre C tampoco puede haber 6 euros (pues Carmen habría dado la respuesta), por lo que es ella, Ana, la que acierta. Si no me he equivocado (y animo al lector a que lo verifique), no hay ningún orden concreto que garantice a ninguna de las tres concursantes la seguridad de que ella y sólo ella va a acertar la respuesta.
Pero todavía podríamos dar otra vuelta de tuerca y deducir lícitamente que si los concursantes no han de poner combinaciones que posibilitan la inmediata deducción de la serie a ninguna de las concursantes, también deberían suprimir aquellas series que, hecha la exclusión de las tres primeras en el conteo de opciones, permiten de nuevo a los concursantes la deducción automática de la solución. En las tablas de esta segunda imagen he quitado las tres series ya identificadas anteriormente (que es lo que habrían hecho las concursantes) y podemos comprobar que aparecen ahora dos series más que permiten la respuesta inmediata: la 2-3-8 (Si Beatriz encuentra 3 euros en el sobre B sabe inmediatamente las cantidades de los otros dos) y la 2-5-6 (en este caso es Carmen a la que se le daría la solución). De las ocho series posibles, quedarían pues sólo 3 válidas. La simulación es ahora sencillísima porque el concurso pierde casi todo su interés. Como puede comprobarse en la nueva columna de tablas, da igual el orden de los concursantes, cualquier combinación se resuelve antes de preguntar al tercero. Y, por supuesto, no hay ningún orden en el que algún concursante pueda asegurarse que, para todas las combinaciones, él será el que gane el premio.A estas alturas del rollo, seguro que más de uno se ha dado cuenta que cabe una tercera vuelta de tuerca porque, si los concursantes han quitado de sus conteos de opciones 5 de las 8 combinaciones posibles, las 3 que quedan son también, ahora, suprimibles. En efecto, la 1-4-8 hace que Carmen sepa inmediatamente las cantidades de los sobres A y B; la 1-5-7 cumple idénticas condiciones para Beatriz; y la 2-4-7 para Ana. O sea, que llegamos a la conclusión absurda de que no hay ninguna combinación válida porque todas permiten que alguna de las concursantes, tan excelentes lógicas, sepa inmediatamente que vea la cantidad de su sobre, los euros que hay en los otros dos. ¡Menuda birria de concurso!
Habrá que asumir, por tanto, que no hay la restricción de no poner series que den la respuesta inmediata a algún concursante (para evitar suspicacias, la combinación concreta resultaría de un sorteo entre las ocho posibles). Volvemos pues a la primera simulación y a la conclusión inicial: no hay manera de garantizarse la victoria. Además, como se ve en la primera columna de tablas, quien sea el acertante depende tanto de la combinación que haya salido como del orden en que son preguntados, y en todas las permutaciones hay varias combinaciones que, tras el turno completo de preguntas, no permiten ningún ganador. Si, acabado este turno, se volviera a preguntar a las tres concursantes en el mismo orden, ¿podríamos asegurar que en todas las combinaciones de todas las permutaciones (48 supuestos) el concurso tendría siempre ganador con un máximo de dos turnos?
Sure as shit - Kathleen Edwards (Asking for Flowers, 2008)
Lo sabía!
ResponderEliminarEsto es como la paradoja del exámen sorpresa. Un profesor dice a los alumnos que la semana que viene les va a hacer un exámen sorpresa.Los alumnos , que son muy lógicos se ponen a pensar y deducen que el viernes es imposible que el profesor ponga el exámen porque si deja pasar el lunes, martes, miércoles y jueves, llegaría el viernes y todos sabrían que era el exámen, luego ya no sería sorpresa. Haciendo la misma deducción, suponen que, descartado el viernes como día del exámen , el jueves tampoco puede ser ...y asi van descartando con idéntico razonamiento el miércoles y el martes , llegando a la conclusión de que el lunes sería el único día posible para el exámen sorpresa, cosa que tampoco puede suceder porque todos sabrían que lunes iban a poner el exámen y ya no sería sorpresa. La paradoja es que haciendo todos los razonamientos es imposible que ningún día sea el exámen pero en la realidad el exámen se hace y es sorpresa.
ResponderEliminarMenos yo, que siempre les digo a mis niños desde que empieza el curso: todos los viernes tendremos examen sorpresa! Y ellos se alegran un montón de tener una seño tan enrollada que hasta les hace sorpresitas. Aún así suelen preguntar:
ResponderEliminarseño, cuándo es el examen sorpresa de los viernes...? Y yo les contesto: sorpresa!
Estoy segura de que los exámenes de los viernes siguen siendo para ellos una absoluta sorpresa, hay que ver la capacidad de asombro de los niños, ni que fueran yo!