Números perfectos

Buscando hace un rato en mi biblioteca un libro que sé que tengo pero que quiere seguir oculto, me encontré con uno de Martin Gardner dedicado, como infinidad de los suyos, a la matemática divulgativa o recreativa. He estado hojeándolo unos minutos y he vuelto a leer las historias de los números perfectos, que ya en su día me sorprendieron y divirtieron. No voy a dedicar este post a disertar sobre los números perfectos; basta a los interesados buscar en internet para encontrar infinidad de páginas. Aclararé sólo que un número perfecto es un entero igual a la suma de sus divisores propios (excluyendo él mismo). Los tres primeros números perfectos son 6 (=1+2+3), 28 (=1+2+4+7+14) y 496 (=1+2+4+8+16+31+62+124+248).

La búsqueda de los números perfectos es un ejemplo particular de esa capacidad mágica de las matemáticas para intrigarnos, y que se vincula con multitud de movidas esotéricas. Hay toda una rama de las matemáticas, la teoría de números, que se dedica a estudiar las propiedades de los números y, según cuenten con tales o tales otras propiedades, los números se denominan de determinadas maneras. Es como si la infinita población de los números se agrupara en distintas familias (o según el oficio en el que trabajan, o la ciudad en la que viven, etc). Así, los asépticos números resultan estar llenos de características diferenciales, como si cada uno tuviera una personalidad muy definida y, por tanto, nos dijera algo propio (y ya nos metemos en la numerología esotérica).

Es sabido que una distinción elemental separa a los números primos de los restantes. Ser primo es una nota de aristocracia, me parece a mí, aunque tampoco lo más de lo más, no vayamos a exagerar. El club de los primos es obviamente infinito, lo que pasa es que a medida que los números van siendo mayores es cada vez más difícil identificar nuevos miembros. Lo curioso es a muchísima gente le resulta apasionante encontrar nuevos números primos (como cualquier nuevo número con cualquier otra propiedad). No es otra cosa que la obsesión por batir records (y como en muchas otras cosas, los gringos son los más apasionados en esto).

En 1642, un monje franciscano francés llamado Marin Mersenne "inventó" una categoría especial en el club de los primos; así, los "primos de Mersenne" son aristócratas entre los aristócratas. Un primo de Mersenne es un número primo que va justo antes que una potencia de 2; los bajitos se ven enseguida: el 3 que va justo antes de la segunda potencia de 2, el 7 que va justo antes de la tercera potencia, el 31 que va justo antes de la quinta potencia, el 127 que va justo antes de la séptima potencia... Como es fácil entender, los primos de Mersenne se van haciendo enormes enseguida (no se sabe si hay un número infinito de ellos). Es más, los mayores primos de Mersenne son los que lideran el ranking de los primos. Así que, a efectos de lograr records en ese ranking, lo mejor es encontrar nuevos primos de Mersenne. De hecho, hay un proyecto de "computación compartida" que funciona por internet coordinando unos 70.000 ordenadores en paralelo. Uno de los equipos participantes, dirigido por profesores de la Universidad de Missouri, descubrieron el cuadragésimo cuarto primo de Mersenne en septiembre pasado (el mismo equipo había descubierto el 43º a finales de 2005). Este número contiene 9.808.358 cifras (para hacerse una idea: si lo imprimiésemos requeriríamos unas 2.800 páginas A4 todas llenas de cifras). Así que es un primo impresionantemente grande (un cacho primo, vaya), pero no lo suficiente; si hubiera alcanzado los diez millones de dígitos, la Electronic Frontier Foundation habría pagado un premio de 100.000 dólares.

Hágamos un paréntesis: ¿Qué es la Electronic Frontier Foundation? Pues según se definen ellos mismos es un grupo sin ánimo de lucro formado por personas apasionadas (abogados, tecnólogos, voluntarios y visionarios) que trabajan para proteger nuestros derechos digitales. Con esta presentación no tengo claro si darles las gracias o acojonarme. En fin, ya procuraré enterarme de algo más sobre estos señores (me ha picado la curiosidad). Por cierto, conjeturo que lo de premiar a quienes encuentren primos cada vez más grandes debe tener que ver con las utilidades criptográficas de estos números y por ahí nos vamos relacionando con los temas de la protección en Internet y afines. Lo dicho: no sé a qué carta quedarme.

En fin, el caso es que los primos de Mersenne tienen mucho que ver con los números perfectos. Euler demostró que los números perfectos se "generan" como el producto de un primo de Mersenne por la potencia de 2 anterior (supongo que no lo he dicho bien, pero es complicado poner la fórmula y, además, seguro que no interesa a casi nadie). En la práctica, esto quiere decir que, dado un primo de Mersenne tenemos inmediatamente un número perfecto (por ejemplo, si el segundo número de Mersenne que es el 7 (anterior a la tercera potencia de 2) se multiplica por la anterior potencia de 2 (que es 4) el resultado es 28 que es justamente el segundo número perfecto. Así que es fácil deducir que se conocen 44 número perfectos y que el cuadragésimo cuarto es el producto del último mersenne descubierto por 2 elevado a 232.582.656. El resultado no puedo calcularlo con mi modesto ordenador (que alguien trate de pedirle a Excel que calcule una potencia de 2 grandecita), pero he estimado que debe andar por algo más de los 140 millones de dígitos; o sea, que para imprimirlo necesitaríamos más de 40.000 páginas: ¡menudo libraco con todas sus páginas llenas de cifras!

Bueno, pues para no resultar casi tan aburrido como sería ese libraco, voy a lo de la simbología de los números perfectos, que es lo que me vino a la memoria cuando reencontré los textos de Gardner. Y para ello hay que remontarse a Pitágoras que es el primero que parece referirse a estos números. A todo esto, hay quienes piensan que Pitágoras no fue una persona, sino una escuela o un grupo de seis iniciados (6 es el primer número perfecto). Lo cierto es que Pitágoras creía que los números mostraban los secretos de la naturaleza, de la realidad; así que el hombre estaba obsesionado e hizo de la numerología una especie de disciplina litúrgico-religiosa, en la que sólo admitía a ciertos iniciados.

El número perfecto era perfecto para estos chicos porque era la suma exacta de todas sus posibles partes (que eso son los divisores propios). Intuyo que lo de los números perfectos debió descubrirse como una sublimación de los triangulares, los que son la suma de una serie consecutiva de números naturales empezando siempre desde el 1 (por ejemplo, el 15 que es igual a 1+2+3+4+5). Los números triangulares son muy bonitos (forman triángulos equiláteros como las quince bolas del billar americano al empezar una partida); ahora, hay que imaginar el orgasmo de Pitágoras cuando descubrió que algunos de esos triangulares no solo se formaban sumando consecutivamente los primeros naturales sino que eran también la suma de sus partes (porque todos los perfectos son triangulares). Comprendo que le parecieran perfectos.

Pitágoras no conoció más que los cuatro primeros números perfectos: 6, 28, 496 y 8.128 (el quinto, 33.550.336, lo descubrió en 1536 Hudalrichus Regius), así que le tenía que parecer un club bastante selecto (y de hecho lo sigue siendo). Para indagar en los significados de estos números (como de cualesquiera otros) hay que meterse en escabrosos terrenos en los que se han sembrado muchas teorías de las que han florecido muchas disciplinas esotéricas. La admiración por la "perfección" de estos números dio lugar desde la antigüedad a explicaciones divinas. Así, en el ámbito judeocristiano llamó la atención que Dios hubiera creado la tierra en seis días. ¿Por qué en ese tiempo pudiendo haber empleado cualquier otro? Pues porque, siendo el 6 un número perfecto, así quiso Dios expresar la perfección de su obra, del universo (esto lo dice San Agustín en "La Ciudad de Dios"; poz vale). Y, por supuesto, el 28 representaría la "perfección" de la circunvalación lunar. Sin embargo, no he encontrado los perfectos significados de 496 y de 8.128, los otros dos números que se conocían. Y habría que ver a estos exégetas buscando significados a los siguientes números perfectos (seguro que las encontrarían).