sábado, 31 de octubre de 2009

¿Cuántos sudokus hay?

Al poco de popularizarse los sudokus me aficioné a ellos y, a la fecha, he adquirido bastante destreza resolviéndolos. Un amigo, viendo que dedicaba cualquier rato muerto a este pasatiempo, me dijo que pareciera que quería hacer todos los sudokus existentes. Es obvio que esa tarea es inalcanzable y además, aunque lo fuera, uno ni se daría cuenta. Al ser sólo combinaciones de cifras, se puede hacer varias veces el mismo sudoku sin percatarse de la repetición. Pero me intrigó el enigma que titula este post. Porque, evidentemente, hay un número finito de sudokus y dicho número tiene que poder ser calculable. ¿Cómo?

En el sudoku canónico (un cuadrado de 9x9 dividido en nueve "cajas" de 3x3) se usan todos los dígitos a excepción del cero y, una vez resuelto, cada uno de ellos aparece nueve veces. El sudoku más sencillo sería el que solo usa las cuatro primeras cifras, conformado por cuatro cajas de 2x2. Los sudokus "normales" (los que son cuadrados) crecen exponencialmente en tamaño. En términos generales, un sudoku en el que se juegue con n cifras (n tiene que ser el cuadrado de un número natural) tendría n2 casillas, n filas, n columnas y n cajas. En el sudoku canónico, si nos quedamos con una cualquiera de las cajas (o, si se prefiere, una única fila o una única columna del cuadrado completo) es evidente que el número total de "soluciones" distintas es el total de permutaciones de las nueve cifras; o sea, 9! que es 362.880. Como la cantidad es muy grande, vayamos al sudoku n=4. Obviamente, existen 4! (24) posibles cajas; las siguientes:

Identificando con un código cada una de las cajas posibles, un sudoku de n cifras se puede denominar como una sucesión de n códigos. Por tanto, el número total de sudokus posibles sería todas las combinaciones de las n! cajas tomadas de n en n. En el caso de los sudokus de 9 cifras, se trata de C(362.880, 9) que equivale a 362.879 x 362.878 x 362.877 x 362.876 x 362.875 x 362.874 x 362.873 x 362.872, lo que da la astronómica cifra de más de 300 septillones (3,0065E44). Descendiendo al modestísimo sudoku de cuatro cifras resulta un total de 10.626 combinaciones, cantidad que al menos nos es inteligible.

Claro está que de todas esas combinaciones la inmensa mayoría no son sudokus válidos. Para verlo con facilidad volvamos al sudoku más elemental de 4 cifras con 24 posibles cajas. Tomemos la caja 1 para el ángulo superior izquierdo. En el ángulo superior derecho podríamos colocar, en teoría, cualquiera de las restantes 23 cajas, pero (como se ve en el siguiente dibujo) sólo valen 4 de ellas, las coloreadas de verde. Si ponemos cualquiera de las otras 19 cajas a la derecha de la primera en alguna de las dos filas resultantes (o en las dos) se repiten cifras. Así que de todas las posibles combinaciones cuya primera caja es la 1 sólo son válidas aquellas cuya segunda caja es la 17, la 18, la 23 o la 24.

Si ahora ponemos la tercera caja (la que iría en el ángulo inferior izquierda) es fácil comprobar que, para cada combinación válida de las dos primeras cajas, sólo cumplen cuatro cajas. Así pues, tenemos dieciséis combinaciones válidas de tres cajas (que son las que se muestran en la siguiente figuras agrupadas en columnas por cada una de las cuatro combinaciones válidas de las dos primeras cajas). Como sabe quienquiera que sea aficionado a los sudokus, resueltas (n-1) cajas de un sudoku la restante es única; por tanto, la cuarta caja de nuestro sudoku elemental es sólo una posible. Ahora bien, por la misma razón, esas dieciséis combinaciones posibles de tres cajas (recordemos que la primera de momento es siempre fija) no son todas válidas. En el dibujo siguiente se ve que las cuatro combinaciones centrales no permiten una cuarta caja válida. Nos quedan pues, 12 combinaciones de las cajas superior derecha e inferior izquierda para cada caja superior izquierda. Como hay 24 cajas que podemos poner en el ángulo superior izquierda, es inmediato concluir que existen 288 sudokus de cuatro cifras y no las 10.626 combinaciones posibles si no se tuvieran en cuenta las reglas del juego.

Si ahora ponemos la tercera caja (la que iría en el ángulo inferior izquierda) es fácil comprobar que, para cada combinación válida de las dos primeras cajas, sólo cumplen cuatro cajas. Así pues, tenemos dieciséis combinaciones válidas de tres cajas (que son las que se muestran en la siguiente figuras agrupadas en columnas por cada una de las cuatro combinaciones válidas de las dos primeras cajas). Como sabe quienquiera que sea aficionado a los sudokus, resueltas (n-1) cajas de un sudoku la restante es única; por tanto, la cuarta caja de nuestro sudoku elemental es sólo una posible. Ahora bien, por la misma razón, esas dieciséis combinaciones posibles de tres cajas (recordemos que la primera de momento es siempre fija) no son todas válidas. En el dibujo siguiente se ve que las cuatro combinaciones centrales no permiten una cuarta caja válida. Nos quedan pues, 12 combinaciones de las cajas superior derecha e inferior izquierda para cada caja superior izquierda. Como hay 24 cajas que podemos poner en el ángulo superior izquierda, es inmediato concluir que existen 288 sudokus de cuatro cifras y no las 10.626 combinaciones posibles si no se tuvieran en cuenta las reglas del juego.
Naturalmente, con lo expuesto hasta aquí no he hecho más que tantear el terreno sin avanzar apenas nada en el problema. Sólo he "contado" las combinaciones válidas entre muy pocas posibles pero sin llegar a entender todavía los mecanismos que subyacen en la selección de aquéllas, paso indispensable para poder establecer la fórmula de la que resultara el número de sudokus de n cifras. Como el número de cajas posibles si es conocido (n!) y, en el caso n=4, resultan 12 combinaciones válidas por caja y 12 es (¿casualmente?) 4!/2, podría aventurar que la solución sería n! x n!/2. De ser cierto, habría 65.840.947.200 sudokus canónicos válidos. Pero no es más que una conjetura con escasísima base que intuyo errónea.

Así que seguiré dándole vueltas al asunto en algún otro rato libre. Pero la respuesta que busco no es la que he descrito. Hasta ahora he elucubrado sobre el número total de sudokus posibles completos. Pero un sudoku es un cuadrado de nxn casillas en las que en algunas aparece una cifra y otras están vacías. ¿Cuántos sudokus incompletos existen? Esta es la pregunta que de verdad me intriga. Naturalmente para que cualquiera de esos cuadrados incompletos sea válido ha de cumplir la condición de que en cada una de sus casillas vacías sólo pueda ponerse una de las n cifras disponibles. Es decir, que pueda solucionarse llegando a uno de los sudokus completos válidos y sólo a uno. Está claro que para cada uno de todos los posibles sudokus completos hay un número determinado de sudokus incompletos cuya solución nos lleva a él.

Generar todos los sudokus incompletos posibles de un sudoku dado es, en teoría, bastante sencillo: basta con ir borrando de forma ordenada cifras de las casillas. Así, en un sudoku de cifras (y n2 celdas) generamos primero todos los sudokus incompletos con una casilla en blanco (salen obviamente n2 sudokus cuyas soluciones son evidentes); luego pondremos dos casillas en blanco en todas las combinaciones posibles; después tres, también en todas las combinaciones; y así sucesivamente hasta tener de nuevo n2 sudokus en los que sólo hay una celda con cifra (éstos son irresolubles, claro está). Generalizar esta mecánica en una fórmula también es simple: se trata de la sumatoria de todas las combinaciones de n2 elementos tomadas de k en k, donde k varía desde 0 hasta n2 (están incluyéndose el sudoku completo y el sudoku vacío). Ahora bien, esta sumatoria es igual a 2 elevado a n2 (a lo que habría que restar 2 si no queremos incluir ni el sudoku completo ni el vacío). Así que, para cada sudoku completo de 4 cifras, resulta que hay un total de 65.534 sudokus incompletos (no cuento los dos singulares). Como ya calculé que había 288 sudokus válidos de 4 cifras, en teoría podría haber 18.873.792 sudokus incompletos de 4x4. En el caso del sudoku canónico las cantidades, lógicamente, se nos disparan. Por cada sudoku válido habría 2,417 cuatrillones de sudokus incompletos y, suponiendo que mi anterior conjetura es válida (que seguro que no) tendríamos un total de 159.193,642 quintillones de sudokus incompletos de 9x9.

Por supuesto, las cifras anteriores son erróneas porque muchísimos de esos sudokus incompletos derivados de uno completo se repiten entre los derivados de otro también completo. Justamente los sudokus incompletos repetidos son aquéllos no válidos ya que pueden tener más de una solución; es decir, son derivados de más de un sudoku completo. Nótese que, con el método propuesto, no se pueden generar sudokus sin solución (los que a veces me he encontrado cuando en una casilla no va ninguna de las nueve cifras disponibles) ya que todos derivan de sudokus completos válidos. Por tanto, calculando el número de repeticiones y restándoselo al total de sudokus completos se llegaría a la respuesta de mi enigma. ¿Cómo se calculan las repeticiones? Pues de momento no lo sé y ya es la hora de almorzar.

PS: Supongo que este post bate el record entre los tantos aburridos que he escrito. En consecuencia, quien haya llegado hasta aquí sepa que cuenta con mi rendida admiración.


CATEGORÍA: Curiosidades dispersas

21 comentarios:

  1. Buf, este post mejor se lo paso al "husband" que es el matemático de la familia porque yo, tras el primer párrafo, comencé a perderme :D

    Besos

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  2. Recuerdo la primera vez que hice un sudoku. Fue hace algunos años, creo que cinco mas o menos. yo estaba trabajando en Canarias, acompañando a un director de cine y la secretaria del mismo, estaba enganchadísima a los sudokus, asi que se empeñó en explicarme en que consistía, hasta que terminamos las dos haciéndolos juntas.
    Ahora yo los utilizo en mis clases, para enseñar los sinogramas. Cada número lo cambio por un sinograma, y asi mis alumnos pueden practicarlos, para reconocerlos, recordarlos y aprender a escribirlos. nueve sinogramas nuevos por sudoku. claro que no a todos les gusta, por eso es algo optativo.
    En cuanto a tu post, pues me resulta curioso como te centras en las cajas y las encajas como si fueran un puzzle de piezas en el que pruebas cual encaja. Hasta este tipo de post, aparentemente tan matemático puede tener diferentes lecturas según quien lo lea.
    saludos.

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  3. Creo que lo sudokus se manejan (y se crean) con algoritmos topológico-numéricos. Lo de numérico no es una redundancia; es decir, en lugar de posiciones de figuras geométricas o de manzanas, se colocan números del 1 al 9 de la manera sabida.

    Yo empecé a hacer sudokus al ver a P. hacerlos, tenía (y tiene) ese vicio al regresar después de trabajar diez hora seguidas en el CSIC. La empecé a imitar, le encontré su gracia, pero sigo sin ser tan bueno como ella. Así que me limito a ganarla al ajedrez que tiene sólo 64 casillas en vez de 81. En cualquier caso ellas es más lista que yo ( y mucho más guapa)

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  4. El número total de sudokus de nueve cifras es:

    6670903752021072936960

    ni uno más, ni uno menos

    O lo que es lo mismo

    9! x 72^2 x 2^7 x 2774267971

    Estoy seguro que hoy vais a dormir todos mucho más tranquilos, especialmente Miros).

    Si queréis saber más:

    Sudoku; Delahaye, Jean-Paul
    Investigación y Ciencia: 359 - AGOSTO 2006

    Finalmente... sudoku; Parrondo, Juan M. R. Investigación y Ciencia: 351 - DICIEMBRE 2005

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    Respuestas
    1. ESTRUCTURAS JAB
      FORMULA PABA SABER CUANTOS SUDOKUS HAY n*n
      EJEMPLLOS
      Hoy podemos decir que la cantidad exacta de sudokus 2 * 2 es 288
      Como sugerir esta cifra por medio de una formula y así poder calcular todos los sudokus n *n
      Una variante es 4! * 4! /2 = 288 24 * 24 / 2 = 288 pasado a n=4 n! * n! /2 = 288
      Para 3 * 3 el sudoku tradicional 9 * 9 9! * 9! /2 = 65.840.947.200

      Estructuras JAB, toma un método constante el cual lo ha llevado a incursionar en distintas aéreas de las matemáticas y métodos alternativo para encontrar el valor exacto de las formulas, para la estructura analizada.
      Para los cuadrados mágicos impares primos o compuestos, de la forma 2 se pudo comprobar la formula y su exactitud.
      Notamos que en muchos de los casos analizados, el valor 3 tiene una notable repercusión.
      ….puedes solicitar esta fórmula y los cuadrados mágicos a nueveventanas999@hotmail.com ….
      Sudoku A * A = Sudoku n *n
      A = 2
      A elevado ( A+3 ) *3*3 A elevado ( 5 ) = 32 *3*3 32*3*3 = 288
      A = 9
      A elevado (A+3) *3*3 A elevado (12) = 282.429.536.481 * 3 * 3 = 2.541.865.828.329
      Pero si tomamos el ejemplo de los cuadrados mágicos, sustituimos el ultimo 3 por un 1
      A elevado (A+3) *3*1 A elevado (12) = 282429536481 * 3 * 1 = 847.288.609.443
      El inmenso tesoro matemático y sus formulas infinitas ¿ ESTARAN LOS PRIMOS INVOLUCRADOS ?
      Puedes solicitar sudokus JAB 13 * 13 = 28561 celdas y la lista completa de los 288 sudokus 2*2

      Porque no puedas saltar esta mota de polvo, no pienses que estas en las grandes montañas.
      JAB TODO ESTA REGISTRADO.

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  5. Alucinado me dejas, Números. Pero, claro está, no me basta con el númerito sino que necesitaría la explicación del porqué (desde luego, el producto que acompañas no me ayuda casi nada). Si tienes esos artículos, me encantaría que me los hicieras llegar porque no los encuentro en la red.

    En todo caso, está claro que mi duda no es nada original.

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  6. Números: he encontrado un texto en internet (http://www.scribd.com/doc/6401392/Paenza-Adrian-Matematica-Estas-Ahi-Episodio-2)en el que, efectivamente, da la misma cifra que dices para el número de sudokus totales, pero no explica cómo se calcula. De otra parte, me da la impresión que esa cifra sería el total de los sudokus "completos" posibles, pero no así de todos los sudokus derivados de éstos que caben. Además, resulta que todavía no se sabe cuántas cifras deben estar impresas en un sudoku inicial para que éste sea, a la vez, resoluble y dé una única solución. Por lo tanto, me temo que mi pregunta podría no haber encontrado respuesta todavía (o a lo mejor sí, porque el libro consultado tiene ya algunos añitos).

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  7. Buenos días.

    Te he enviado por correo la dirección de megaupload donde bajarte los artículos.

    ¡Qué los disfrutes!

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  8. Muchas gracias, Números. Ya estoy bajándolo y a ver si esta noche me lo leo. Así da gusto; te debo una.

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  9. Sudoku es un juego popular pero no sé cuantos sudokus hay.
    http://es.domo-sudoku.com

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  10. El número de Sudokus posibles de de 4x4 es 96.

    Para comprender el resultado solo tenéis que dibujar un sudoku de 4x4

    Las posibles combinaciones en la 1ª fila son combinaciones sin repetición de 4 elementos tomados de 4 en 4. Esto es 4!=4x3x2x1=24.

    Para la 1ª celda de la segunda fila nos quedan dos números posibles. Luego tenemos combinaciones sin repetición de dos elementos tomados de 1 en 1. Esto es 2.

    Para las celdas 3ª y 4ª de la 1ª columna nos quedan dos números posibles. Luego tenemos combinaciones de 2 elementos tomados de 2 en 2. Esto es 2!=2*1=2.

    Rellenadas la 1ª fila y la 1ª columna el sudoku es único.

    Por tanto el número máximo de sudokus posibles es 4!x2x2!=96.

    Siguiendo un procedimiento similar descubriréis que el número máximo de sudokus de 9 x 9 es: 9! x 6 x 5 x 6! x 4! x 6 elevado a 8 = 315.964.309.635.072.000

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  11. Perdón, la solución al numero máximo de un sudoku de 4 x 4 es 192.
    Dado que a partir de la 1ª fila y la 1ª columna se pueden dar dos posibilidades.

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  12. Tengo una duda. El sudoku de 4x4 sin restricciones cuantas posibles soluciones tiene? 192? Me gustaría saberlo. Muchas gracias!

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  13. hice un calculo antes de buscar sobre esto en Internet, ni bien se me ocurrió.. y llegue a que hay 288 sudokus posibles en el de 4x4.. en el de 9 intente seguir los mismos pasos pero algunas cosas no me cerraron mucho.. el resultado al que llegue con mi larga formula(solo entendible por mi ja ja) es 530698709892021092352000 (530.698.709.892.021.092.352.000) aunque todavía no lo repasé.. cosa que voy a hacer mañana(no tan desvelado ja ja)

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    1. Yo tambien he llegado a la misma respuesta, de que hay 288 posibles sudokus de 4X4, no he intentado todavia hacer el de 9X9, ya que queria ver si la solucion de ver cuantos 4x4 se aproximaba a algun otro resultado.
      Ya se que han pasado los años asi que igual no te acuerdas

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  14. Saludos Cordiales,

    " para cada sudoku completo de 4 cifras, resulta que hay un total de 65.534 sudokus incompletos (no cuento los dos singulares). Como ya calculé que había 288 sudokus válidos de 4 cifras, en teoría podría haber 18.873.792 sudokus incompletos de 4x4 " ... Está premisa me parece incorrecta, creo que hay tan sólo 13.579.392, ya que no tamas en cuenta a los Sudokus con más de una solución o ambiguos.

    Gracias..

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  15. Ok... mierda!. Y perdón.
    😬💆💆💆💆

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  16. Hola amigos. he reproducidos varias veces el proceso de los sudokus 4X4 y me salen 192. Ahora estoy comprobando los de 9X9. tengo que reproducirlos varias veces y ver si coinciden los cifras. ya os explicaré mi método cuando esté seguro. Saludos, Manuel Oreja Fernández

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  17. 1234341221434321 2134341212434321 3124241313424231
    1234341223414123 2134341243211243 3124241342311342
    1234341241232341 2134342112434312 3124243112434312
    1234341243212143 2134342113424213 3124243113424213
    1234342121434312 2134342142131342 3124243142131342
    1234342143122143 2134342143121243 3124243143121243
    1234431221433421 2134431212433421 3124421313422431
    1234431234212143 2134431214233241 3124421314322341
    1234432121433412 2134431232411423 3124421323411432
    1234432124133142 2134431234211243 3124421324311342
    1234432131422413 2134432112433412 3124423113422413
    1234432134122143 2134432134121243 3124423124131342
    1243341221344321 2143341212344321 3142241312344321
    1243341243212134 2143341213244231 3142241313244231
    1243342121344312 2143341242311324 3142241342311324
    1243342123144132 2143341243211234 3142241343211234
    1243342141322314 2143342112344312 3142243113244213
    1243342143122134 2143342143121234 3142243142131324
    1243431221343421 2143431212343421 3142421313242431
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    1243432121343412 2143432132141432 3142423123141423
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    1324241331424231 2314142331424231 3214142323414132
    1324241332414132 2314142332414132 3214142341322341
    1324241341323241 2314142341323241 3214143221434321
    1324241342313142 2314142342313142 3214143223414123
    1324243131424213 2314143232414123 3214143241232341
    1324243142133142 2314143241233241 3214143243212143
    1324421324313142 2314412314323241 3214412313422431
    1324421331422431 2314412332411432 3214412314322341
    1324423121433412 2314413212433421 3214412323411432
    1324423124133142 2314413214233241 3214412324311342
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    1324423134122143 2314413234211243 3214413223411423
    1342241331244231 2341142332144132 3241142321344312
    1342241342313124 2341142341323214 3241142323144132
    1342243131244213 2341143231244213 3241142341322314
    1342243132144123 2341143232144123 3241142343122134
    1342243141233214 2341143241233214 3241143223144123
    1342243142133124 2341143242133124 3241143241232314
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    1342421331242431 2341412332141432 3241413213242413
    1342421334212134 2341412334121234 3241413214232314
    1342423124133124 2341413214233214 3241413223141423
    1342423131242413 2341413232141423 3241413224131324
    1423231431424231 2413132431424231 3412123421434321
    1423231432414132 2413132432414132 3412123423414123
    1423231441323241 2413132441323241 3412123441232341
    1423231442313142 2413132442313142 3412123443212143
    1423234132144132 2413134231244231 3412124321344321
    1423234141323214 2413134242313124 3412124343212134
    1423321423414132 2413312413424231 3412213412434321
    1423321441322341 2413312442311342 3412213443211243
    1423324121344312 2413314212344321 3412214312344321
    1423324123144132 2413314213244231 3412214313244231
    1423324141322314 2413314242311324 3412214342311324
    1423324143122134 2413314243211234 3412214343211234
    1432231432414123 2431132431424213 3421123421434312
    1432231441233241 2431132442133142 3421123443122143
    1432234131244213 2431134231244213 3421124321344312
    1432234132144123 2431134232144123 3421124323144132
    1432234141233214 2431134241233214 3421124341322314
    1432234142133124 2431134242133124 3421124343122134
    1432321421434321 2431312412434312 3421213412434312
    1432321423414123 2431312413424213 3421213413424213
    1432321441232341 2431312442131342 3421213442131342
    1432321443212143 2431312443121243 3421213443121243
    1432324123144123 2431314213244213 3421214312344312
    1432324141232314 2431314242131324 3421214343121234

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  18. ESTRUCTURAS JAB
    FORMULA PABA SABER CUANTOS SUDOKUS HAY n*n
    EJEMPLLOS
    Hoy podemos decir que la cantidad exacta de sudokus 2 * 2 es 288
    Como sugerir esta cifra por medio de una formula y así poder calcular todos los sudokus n *n
    Una variante es 4! * 4! /2 = 288 24 * 24 / 2 = 288 pasado a n=4 n! * n! /2 = 288
    Para 3 * 3 el sudoku tradicional 9 * 9 9! * 9! /2 = 65.840.947.200

    Estructuras JAB, toma un método constante el cual lo ha llevado a incursionar en distintas aéreas de las matemáticas y métodos alternativo para encontrar el valor exacto de las formulas, para la estructura analizada.
    Para los cuadrados mágicos impares primos o compuestos, de la forma 2 se pudo comprobar la formula y su exactitud.
    Notamos que en muchos de los casos analizados, el valor 3 tiene una notable repercusión.
    ….puedes solicitar esta fórmula y los cuadrados mágicos a nueveventanas999@hotmail.com ….
    Sudoku A * A = Sudoku n *n
    A = 2
    A elevado ( A+3 ) *3*3 A elevado ( 5 ) = 32 *3*3 32*3*3 = 288
    A = 9
    A elevado (A+3) *3*3 A elevado (12) = 282.429.536.481 * 3 * 3 = 2.541.865.828.329
    Pero si tomamos el ejemplo de los cuadrados mágicos, sustituimos el ultimo 3 por un 1
    A elevado (A+3) *3*1 A elevado (12) = 282429536481 * 3 * 1 = 847.288.609.443
    El inmenso tesoro matemático y sus formulas infinitas ¿ ESTARAN LOS PRIMOS INVOLUCRADOS ?
    Puedes solicitar sudokus JAB 13 * 13 = 28561 celdas y la lista completa de los 288 sudokus 2*2

    Porque no puedas saltar esta mota de polvo, no pienses que estas en las grandes montañas.
    JAB TODO ESTA REGISTRADO.

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  19. Estructuas JAB es un método recurrente para mi investigación, sobre el comportamiento de los numeros, como se explica te puedo enviar la lista completa de los 288 sudokus 2*2 pero seria bueno, que alguien de ustedes completara la cuarta fila, todos los sodokus que empiezan con el numero 4.
    El sudoku 13*13 tiene 28561 celdas, algo extremadamente gigante, vi en algunas paginas decir sudokus 10*10 serian 10000 celdas pero cuando entras no hay nada.
    si me lo pides te enviare y lo podras comprobar con la planilla de calculo Excel.
    gracias

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