viernes, 26 de febrero de 2016

Probabilidades, bebés y piratas

Las probabilidades no son tan intuitivas como parece y esto es algo que deberíamos tener en cuenta porque todos, más o menos conscientemente y más o menos acertadamente, calculamos probabilidades en nuestros actos cotidianos. Por ejemplo, cuando aparcamos "un momento" el coche en segunda fila estimamos muy baja la probabilidad de que aparezca un municipal con la grúa durante el tiempo que nos llevará nuestra gestión. O el ejemplo que viví en primera persona hace muchos años y conté el pasado domingo: cuando, tras una serie de varios negros salidos en la ruleta, pensamos erróneamente que hay más probabilidades de que salga el rojo. En los comentarios a ese post aludí a esto con la desafortunada expresión de que el azar no sabe lo que ha ocurrido antes, lo que Vanbrugh aprovechó para hacerme notar que "las leyes físicas no se cumplen porque el universo "sepa" que "debe" cumplirlas". Esta última frase daría para largas discusiones pero, en todo caso, se saldrían de lo que entonces tratábamos y que también es el objeto de este post: las probabilidades.

Las probabilidades se refieren a acontecimientos, a la frecuencia con que cabe esperar que suceda un determinado resultado. Para calcular probabilidades debemos saber los resultados posibles y las condiciones en que los acontecimientos se producen. Así, si el acontecimiento es lanzar una moneda al aire y la moneda no está trucada ni puede caer de canto, sólo hay dos posibles resultados: que salga cara o que salga cruz, y ambos tienen la misma probabilidad de salir en cada lanzamiento. Como solo hay dos resultados, la probabilidad de que en cada lanzamiento salga cara (o cruz) es de una entre dos (1/2) o, como más habitualmente se expresa, del 50%. Si ese acontecimiento se repite muchas veces (llamemos n al número de veces), el número de resultados posibles al final de la serie es el de las variaciones (con repetición) de dos elementos tomados n veces, cantidad que es igual a 2 elevado a n (2^n). El número de resultados crece exponencialmente con la repetición del evento y enseguida se hace inmenso: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 ...

La probabilidad de que al cabo de n repeticiones del acontecimiento salga un resultado concreto de los 2^n posibles es, por tanto, una entre 2^n. Por ejemplo, la probabilidad de que tras diez lanzamientos salgan diez cruces es 1/1024 o del 0,097656%. Muy baja, ciertamente, como todos sabemos intuitivamente. Por eso, no nos asustaría apostar a que no se va a dar ese resultado; lógico, porque la probabilidad de que no salgan diez cruces seguidas es de 1.023 resultados posibles (todos menos el de las diez cruces) entre 1.024, o sea, del 99,9%. En el fondo, aunque los lanzamientos de moneda se vayan produciendo uno tras otro, secuencialmente, la probabilidad de cualquier resultado entre los 2^n posibles es la misma que si se lanzaran simultáneamente diez monedas al aire. Digamos que, siempre que los eventos sean independientes (no influya el resultado previo en el siguiente), el tiempo carece de relevancia: da igual infinitos lanzamientos de una moneda durante un tiempo infinito que el lanzamiento de infinitas monedas en un instante (tiempo cero). Conclusión esta muy sugerente y que nos orienta hacia las reflexiones (tan poco intuitivas) de la física sobre el tiempo, etc.

Pero el tiempo existe, o al menos eso creemos. De ahí que la probabilidad de cualquier acontecimiento cambie según el momento de la sucesión en que estemos o, lo que es lo mismo, según la información de que dispongamos. Cuando iba al casino calculé acertadamente que, como para perder tenían que salir diez negros seguidos, la probabilidad de que ocurriera era ínfima. Sin embargo, en la nefasta sucesión de tiradas que me arruinó, para cada una de ellas, la probabilidad de perder (y de ganar) era del 50%, bastante más alta. O sea, en mi última puja aposté nada menos que dieciséis mil pelas de entonces a que salía rojo en esa tirada concreta; nadie mínimamente prudente lo haría, ¿verdad? Este ejemplo vale, creo, para ilustrar que las probabilidades no son siempre intuitivas. O, si se prefiere, dos resultados incompatibles nos resultan intuitivos: entendemos que tenía un 50% de probabilidades de ganar en esa última tirada, pero también entendemos que las probabilidades de ganar en las diez tiradas era del 99,9%.

Pongo otro ejemplo con los nacimientos de bebés, para volver a los hospitales de Vanbrugh (mientras espero por su prometido post en el que nos explicará otro misterio). Cuando nosotros o una pareja conocida está esperando un hijo (y siempre que no les hayan desvelado el sexo), suponemos acertadamente que hay un 50% de probabilidades de que sea niño y otro tanto de que sea niña. Por otra parte, si nos dicen de una pareja que tiene muchos hijos –rara avis en estos tiempos pero no en los de mis padres– esperamos que el número de niños y de niñas no difiera demasiado y de hecho nos sorprende por excepcional una familia, por ejemplo, de diez vástagos varones y ninguna hembra. De hecho, la probabilidad de que esos padres hayan engendrado diez varones es exactamente la misma que la de que yo perdiera mi escasa fortuna juvenil en la ruleta, menos de una entre mil. Y sin embargo, cuando la señora estaba en su décimo embarazo con la desesperada esperanza de dar a luz a la ansiada niña, las probabilidades de que se cumplieran sus deseos era también del 50%. Aunque a ese respecto hubo división de opiniones entre los amigos del atribulado matrimonio. Unos opinaban que después de nueve chicos tenía que haber más probabilidades de que naciera una chica (más o menos lo que me llevó a perder en la ruleta); otros, en cambio, dada la anomalía estadística previa, pensaron que el padre tenía una mayoría abrumadora de espermatozoides Y, por lo que las probabilidades estaban a favor del nacimiento de otro varón más.

Durante la lectura de los posts de Vanbrugh me acordé de un problemilla que viene muy al caso porque pone de manifiesto que con las probabilidades, a veces, no hemos de fiarnos del todo de lo que nos dice la intuición. Imaginémonos que una pareja amiga que ya tiene un hijo varón está esperando otro; obviamente la probabilidad de que sea varón es del 50%. Ahora hagamos un ligero cambio, supongamos que ya ha nacido el bebé pero no nos enteramos de su sexo, ¿qué probabilidad hay de que sea varón? Pues la misma, claro, el 50% (hasta aquí la intuición parece funcionar bien). Otro ligero cambio en el planteamiento: la pareja no es amiga nuestra pero vamos a conocerla esta noche en una cena y para caerles simpáticos hemos pensado en comprar unos detalles para sus hijos. Nos han dicho que tienen dos y que uno de ellos (nuestro informante no sabe si el mayor o el menor) es varón. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro también sea varón? He hecho la prueba con compañeros del curre y casi todos, siguiendo su intuición, me han contestado que la misma, el 50%. Pero no, la probabilidad de que el hijo cuyo sexo desconocemos sea varón es del 33,33% (y lógicamente, hay un 66,66% de probabilidades de que sea niña). Pensamos pues en comprar una muñeca en vez de una pistola de agua, pero luego nos dimos cuenta de que vivimos ya en una sociedad no sexista y, por tanto, averiguar el sexo que desconocíamos era irrelevante (hasta contraproducente). Tiene su miga (o su gracia) cuando las probabilidades no son las que uno espera.

Y para acabar, aprovechando que empieza el fin de semana, planteo un problema que me enviaron hace unos días y me resultó entretenido. Como en casi todos, la clave está en enfocarlo correctamente porque, si no, uno se puede pasar mucho rato dándose cabezazos contra un muro. Acabo de comprobar que puede encontrarse en internet (incluso con algunas variantes), pero doy por supuesto que mis lectores no hacen trampas, porque sería hacérselas a sí mismos. Lo divertido de estos ejercicios es el rato que se pasa pensando; el único premio es la propia satisfacción. Bueno, allá va el enunciado.

Se trata de una banda de cinco sanguinarios piratas que, gracias a sus últimas felonías, han acumulado cien monedas de oro. Se aprestan a repartirse el botín y para ello no se dan veinte monedas cada uno como haríamos los miserables burgueses sino que aplican un curioso procedimiento ya consagrado entre sus tradiciones. El pirata de más edad hace una propuesta de reparto (o sea, dice el número de monedas para él, para el segundo pirata, para el tercero, para el cuarto y para el quinto, de modo que la suma de las cinco cifras es 100) y la somete a votación. Si el resultado es de la mitad o más de los votos, la propuesta se lleva a la práctica y asunto resuelto, se acabó el reparto. En caso de que la propuesta obtenga menos del 50% de los votos, al pirata proponente lo tiran por la borda a unas aguas infestadas de tiburones. Entonces el siguiente pirata en edad hace su propuesta y vuelven a votar siguiendo exactamente el mismo procedimiento. Y así siguen hasta que algún pirata consigue ganar una votación o todos son pasto de los tiburones salvo el último que se queda con las cien monedas de oro.

Los cinco piratas son expertos lógicos y cada uno sabe que todos los otros lo son también (es decir, saben que las decisiones que adoptarán sus compañeros obedecen a los mismos criterios lógicos que las suyas propias). De más está decir que lo que decide la propuesta y el voto de cada pirata es maximizar su ganancia, conseguir el máximo número de monedas sin que lo tiren por la borda. Lo que hay que averiguar es cuál fue la propuesta de reparto que hizo el primer pirata. He dejado para el final dos datos que admiten alternativas. La primera sería que votan todos (incluyendo el pirata que hace la propuesta) o todos menos el proponente. La segunda alternativa es si se admiten o no abstenciones en las votaciones. De admitirse, un pirata se abstendría cuando la propuesta le es indiferente; de no admitirse, hay que pensar que en caso de serle la propuesta económicamente indiferente votaría en contra para darse el gusto de tirar a un colega por la borda (recuerdo que son muy sanguinarios). Al resolverlo hay que decidir primero la variante que se elige.

Pues nada, a divertirse un rato. Una vez encontrada la solución se puede dar un paso más y tratar de encontrar la regla general para este tipo de problemas (que es una buena simulación de votaciones entre actores e intereses múltiples como las que se dan en un Parlamento). Es decir, ¿cómo se resuelve para un número cualquiera de piratas (p) y de monedas (m)? ¿Y qué pasa si p > m?

 
My treasure - Johnny Cash (Now Here's Johnny Cash , 1961)

11 comentarios:

  1. ¡Hola a todos!

    Disculpas por adelantado sobre lo que voy a decir porque a lo mejor resulta ser una mamarrachada. Versa sobre lo de los hijos machos o hembras de una única pareja ¿No sería factible que existieran determinados condicionantes físicos, aun no descubiertos, que provocaran que los ovulos de determinada mujer con unas característica -digamos alfa- fecundados por los espermatozoides de determinado varón con unas características -califiquémoslas de beta- fueran más proclives a un engendrar seres de un sexo determinado y no del otro?.

    A más, a más. Manejemos esta ficción: Si una pareja "x", pongamos... con diez hijos, todos ellos varones, volvieran a recontrarse al inicio de sus edad fértil y comenzarán a tener hijos ¿no volverían otra vez a procear, en base a la interacción de esos condicionantes físicos exclusivos que poseen (ADN), únicamente niños de sexo masculino?

    Probablemente entramos en el terreno de la ciencia ficción (de momento).

    Un abrazo para todos.

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    1. Tu hipótesis es de hecho real. Los espermatozoides que portan el cromosoma Y son más rápidos y tienen más probabilidad de fecundar un ovulo, necesariamente con el cromosoma X y dar por resultado un zigoto varón XY; sin embargo, la probabilidad de que se inserten en la matriz los zigotos XY es menor que la de que se inserten zigotos XX, hembras, y por eso los nacimientos se compensan en aproximadamente un 50% en grandes números.

      Ahora bien, supongamos, como bien dice Vanbrugh, que determinada matriz rechaza los XX, o los XY, etcétera. Y así se desviaría del 50%.

      Por otra parte, y para complicarlo, está la epigenética, es decir, las condiciones ambientales en el momento de la fecundación y de la implantación que pueden ser transitorias pero definitivas en cada momento

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    2. El asunto que plantea Julian (y al que entran Vanbrugh, Lansky y ahora yo) es absolutamente marginal al objeto del post; no es más que un ejemplo para ilustrar de lo que trata la entrada, de probabilidades. Entiendo no obstante que sea más atractivo comentar sobre el sexo de los niños. Por eso tampoco yo me resisto a remitirme a un post ya bastante viejo donde hablé del asunto: http://desconciertos3.blogspot.com.es/2007/03/nio-o-nia.html.

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  2. No creo que lo que dices sea una mamarrachada, Julián. Lo del 50% para niño-niña se refiere a la especie. Es muy posible que haya mujeres concretas que solo puedan tener niñas (los cigotos masculinos se arruinen por alguna peculiaridad suya hormonal, o vaya usted a saber), o solo niños. Lo más probable, en parejas que tengan muchos hijos y solo de uno de los dos sexos -yo conozco algunas- es que pase algo así. Lo único que cambia es que, en su caso, las probabilidades de los dos sexos ya no se reparten al 50-50, sino al 80-20, o al 100-0.

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  3. "O, si se prefiere, dos resultados incompatibles nos resultan intuitivos: entendemos que tenía un 50% de probabilidades de ganar en esa última tirada, pero también entendemos que las probabilidades de ganar en las diez tiradas era del 99,9%."

    No son incompatibles. Las probabilidades son distintas porque se refieren a resultados diferentes. Es del 50% la de que salga rojo en esa jugada, eso no hay quien lo cambie. Y es del 0'05% la de que salga rojo en diez jugadas seguidas (que incluyen a esa, pero no se limitan a esa), tampoco eso es discutible. Que ambos resultados, netamente distintos, coincidan en necesitar que esa jugada sea roja no los convierte en el mismo resultado con dos probabilidades diferentes. Siguen siendo dos resultados distintos, cada uno con su probabilidad.

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  4. Intentaré ocuparme de tus piratas este fin de semana, pero soy muy malo. En cuanto la cuestión deja de ceñirse a las matemáticas e intervienen decisiones humanas, por lógicas que me aseguren que son estas decisiones, yo empiezo a desorientarme.

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    1. Las decisiones son absolutamente lógicas, Vanbrugh. En vez de piratas humanos podrían ser robots programados para maximizar sus ganancias asumiendo que los otros están igualmente progarmados.

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  5. Es un ejercicio de teoría de juegos. Hace un par de años, seguí un curso on-line y recuerdo la explicación (o eso creo, suelo tener buena memoria).

    Veamos... Ordenemos a los piratas por edad, el mayor como "1", siendo el mayor después de este, "2"; y así sucesivamente hasta llegar al más joven. A continuación, precedido de unos puntos, pondremos la cifra en monedas de oro que se quedan. Supondré que cuenta el voto del capitán y no hay abstenciones.

    Para cinco piratas, saldría: 1: 98; 2: 0; 3: 1; 4: 0; 5: 1

    ¿Por qué? Veamos qué ocurre si son dos. Si el voto del capitán cuenta, puede quedarse todo y no darle nada a su segundo. 1: 100; 2: 0. Como hay un 50% de votos favorables, se acepta.

    Si son tres, el capitán es consciente de que el siguiente pirata de más edad dirá siempre que no para llevárselo todo. También es consciente de que, si le da una moneda al último mono, este ganará más que siendo sólo dos. Por tanto, 1: 99; 2: 0; 3: 1.

    Si son cuatro, todos los piratas saben qué ocurrirá si matan al actual capitán. Este sabe, pues que el anterior pirata 2 (ahora el pirata 3) estará contento con una sola moneda y ya los dos votos suman la mitad, luego: 1: 99; 2: 0; 3: 1; 4: 0.

    Y si son cinco, los anteriores piratas 2 y 4, ahora 3 y 5, se contentarán con una sola moneda. El resultado es, pues, el que he puesto al principio.

    Si el voto del capitán no contara pero tampoco hubiera abstenciones, tendríamos que con dos piratas, ningún reparto satisfaría al último mono, porque siempre podrá quedárselo todo él solo y le encanta la sangre. Si son tres, el capitán dará la monea al segundo pirata y no al tercero, al revés que antes, pues sabe que así salva su vida (1: 99; 2: 1; 3: 0). Si son cuatro, vuelve a ser insostenible, porque el pirata 2 querría ser el 1 con sólo tres piratas y al 2 le da igual porque son sangrientos, sabe que siempre se llevará 1, y son más de la mitad de votos. Si son cinco, pues el capitán dará esta vez su moneda al pirata 2, porque está loquito con no quedarse solo con esas malas bestias y de nuevo a 5, porque en ninguno de los dos repartos anteriores se ha llevado nada, sea por imposible o porque no le dan nada: 1: 98; 2: 1; 3: 0; 4: 0; 5: 1.

    Como me espera el fin de semana, lo dejaré ahí. Pensaré sobre las abstenciones en ambos casos así como su generalización.

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    1. Dejo constancia. Ayer le envié a Miroslav mi respuesta al enigma. Había leído mal el problema, y entendí que para que un reparto fuera aceptado necesitaba mayoría absoluta de votos, es decir, no le bastaba con la miyad, necesitaba más. Mi respuesta no tenía nada que ver con la correcta, claro. Pero tampoco sé si sería correcta para el problema entendido como yo lo hacía.

      Miroslav me advirtió cómo era en verdad la cosa. Teniéndolo en cuenta, pensé otro rato y le volví a enviar la respuesta a la que llegué. Se parecía a la de Ozanu, pero no era la misma. Le daba 98 monedas al capitán, ninguna al 2º, 1 al 3º, 2 al 4º y nada al 5º. El razonamiento era muy largo y no merece ser expuesto aquí, porque, a fin de cuentas, creo que fallaba en algo. Vista la respuesta de Ozanu, creo que es la correcta. Todavía estoy intentando averiguar dónde falla la mía.

      No gana uno para fines de semana dedicados a pensar.

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    2. Ozanu: perfecta la solución que das y bastante bien explicada. Pero la próxima vez, te agradecería que no la dieras en los comentarios, para que los demás puedan seguir buscándola por sí solos.

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    3. Razón llevas. A Vanbrugh, sólo decirle que en realidad nos da varias alternativas, que estoy pensando y dan lugar a situaciones complejas. Da mucho que pensar.

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